[論文レビュー] Optimal Procedures for Multiple Testing Problems

Saharon Rosset, Ruth Heller+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多重仮説検定問題を無限次元最適化問題として定式化し、家族単位の誤り率（FWER）または誤り発見率（FDR）を制御しながら統計的パワーを最大化することを目的としている。同一性を有する仮説の場合、これらの問題は無限次元線形計画問題として解けることが示され、三つの独立した正規母集団の平均に関する明示的な最適手順が得られ、従来の手法と比較して顕著なパワー向上が達成される。

ABSTRACT

Multiple testing problems are a staple of modern statistical analysis. The fundamental objective of multiple testing procedures is to reject as many false null hypotheses as possible (that is, maximize some notion of power), subject to controlling an overall measure of false discovery, like family-wise error rate (FWER) or false discovery rate (FDR). In this paper we formulate multiple testing of simple hypotheses as an infinite-dimensional optimization problem, seeking the most powerful rejection policy which guarantees strong control of the selected measure. In that sense, our approach is a generalization of the optimal Neyman-Pearson test for a single hypothesis. We show that for exchangeable hypotheses, for both FWER and FDR and relevant notions of power, these problems can be formulated as infinite linear programs and can in principle be solved for any number of hypotheses. We apply our results to derive explicit optimal tests for FWER or FDR control for three independent normal means. We find that the power gain over natural competitors is substantial in all settings examined. We also characterize maximin rules for complex alternatives, and demonstrate that such rules can be found in practice, leading to improved practical procedures compared to existing alternatives.

研究の動機と目的

• 誤り率を制御しながらパワーを最大化する一般化された最適多重仮説検定手順の枠組みを構築すること。
• ネイマン＝ピアソンの補題を無限次元最適化問題として定式化することで、複数の仮説への拡張を図ること。
• 同一性を有する仮説の設定において、FWERおよびFDR制御下での最適な帰無仮説の棄却ルールを解明すること。
• FWERおよびFDR制約下で三つの独立した正規母集団の平均に対する明示的な最適検定を導出すること。
• 複雑な代替仮説におけるミニマックスルールを特徴づけ、実用的な多重仮説検定手順を改善すること。

提案手法

• 単純仮説の多重検定を、誤り率制約下でのパワー最大化を目的とした無限次元最適化問題として定式化する。
• FWERおよびFDR制御下で同一性を有する仮説の場合、最適化問題を無限次元線形計画問題として表現する。
• 双対性および関数解析的手法を用いて、最適な帰無仮説の棄却方針を特徴づける。
• FWERおよびFDR制御下で三つの独立した正規母集団の平均に対する明示的な最適手順を導出するために、この枠組みを適用する。
• 対応する最適化問題を解くことにより、複雑な代替仮説下でのミニマックスルールを特徴づける。
• 得られた手順が実際の計算が可能であることを示し、より優れた実世界の検定手順の実現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 家族単位の誤り率（FWER）を制御しながらパワーを最大化する多重仮説検定問題における最適な帰無仮説の棄却方針は何か？
• RQ2 同一性を有する仮説において、誤り発見率（FDR）制御下での最適な多重仮説検定手順はどのように導出可能か？
• RQ3 FWERおよびFDR制御下で三つの独立した正規母集団の平均に対する最適検定の明示的形は何か？
• RQ4 有限標本設定において、提案された最適手順のパワー向上は、標準的手法と比較してどの程度顕著か？
• RQ5 複雑な代替仮説において、ミニマックスルールは効果的に導出可能で実装可能か？

主な発見

• 同一性を有する仮説の下では、最適な多重仮説検定問題が無限次元線形計画問題として定式化可能であり、理論的および計算的解決が可能になる。
• 三つの独立した正規母集団の平均に関して、提案された最適手順はFWERおよびFDR制御下で、自然な競合手法と比較して顕著なパワー向上を達成する。
• この枠組みは、ネイマン＝ピアソンの補題を無限次元最適化設定に埋め込むことで、複数の仮説への一般化を可能にする。
• 複雑な代替仮説におけるミニマックスルールは、実務的に導出可能で実装可能であり、より強固な検定手順の改善をもたらす。
• 結果として、強い誤り率制御を伴う広範な多重仮説検定問題に対して、最適な手順が存在し、かつ計算可能であることが示された。