[論文レビュー] Optimal Quantum Circuits for Nearest-Neighbor Architectures

David J. Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、隣接するキュービットのみが相互作用できるkD近隣構造における量子回路が、任意の2キュービットゲートを許容する標準的な抽象モデルと同等の漸近的深さに達できることを示している。古典的コントローラーを用いてトランスミッションベースの操作を調整することで、最小深さ（定数要因の範囲内）の回路を効率的に実装できることを示しており、量子アルゴリズム設計における非局所的相互作用の仮定が正当化されている。

ABSTRACT

We show that the depth of quantum circuits in the realistic architecture where a classical controller determines which local interactions to apply on the kD grid Z^k where k >= 2 is the same (up to a constant factor) as in the standard model where arbitrary interactions are allowed. This allows minimum-depth circuits (up to a constant factor) for the nearest-neighbor architecture to be obtained from minimum-depth circuits in the standard abstract model. Our work therefore justifies the standard assumption that interactions can be performed between arbitrary pairs of qubits. In particular, our results imply that Shor's algorithm, controlled operations and fanouts can be implemented in constant depth, polynomial size and polynomial width in this architecture. We also present optimal non-adaptive quantum circuits for controlled operations and fanouts on a kD grid. These circuits have depth Theta(n^(1 / k)), size Theta(n) and width Theta(n). Our lower bound also applies to a more general class of operations.

研究の動機と目的

• 近隣量子計算における深さオーバーヘッドを分析することで、理論的量子回路モデルと現実的な物理的アーキテクチャの間のギャップを埋めること。
• 物理的局所性の制約にもかかわらず、任意の2キュービット相互作用が効率的に行えるという量子アルゴリズム設計における広範な仮定を正当化すること。
• kDグリッド上での基本的演算（例：制御-Uゲートやファンアウト）の量子回路の深さについて、タイトな下界と上界を確立すること。
• kD近隣構造上での制御操作およびファンアウトの非適応的で最適な量子回路構成を、深さΘ(√[k]{n})で開発すること。

提案手法

• kDグリッド上で局所的2キュービット操作をスケジューリングする古典的コントローラーを備えた2次元古典的コントローラー近隣量子回路（2D CCNTC）モデルを設計する。
• 近隣相互作用のみを用いて、任意の非局所的2キュービットゲートを定数深さでシミュレートするトランスミッションベースのスキームを導入する。
• qubitを1列から別の列へ定数深さで移動させるための新規なqubit再配置プロトコルを用い、効率的な回路コンパイルを可能にする。
• qubitがターゲットから遠く離れている場合、限定されたステップ数内では影響を及ぼせないことを示すために、ℓ₁距離に基づく議論を、ピーコンホールド原理の変種を用いて行う。
• ℤᵏにおける一般化された等周不等式を用いて、n個のqubitを含む任意の集合が、互いにℓ₁距離がΩ(√[k]{n})であるΩ(n)サイズの部分集合を含むことを示す。
• 任意のkD NANTC回路が、制御-Uやファンアウトのようなε感受性操作を実装する場合、深さがΩ(√[k]{n})以上であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の2キュービット相互作用を持つ量子回路は、古典的コントローラーを備えたkD近隣構造上で定数深さでシミュレート可能か？
• RQ2 kD近隣構造上での制御-U操作およびファンアウトを実装するための最小達成可能深さは何か？
• RQ3 物理的局所性が課せられる状況でも、非局所的2キュービット相互作用の仮定は深さ複雑度の観点から正当化されるか？
• RQ4 kD近隣構造上でのε感受性操作のための量子回路の基本的下界は何か？
• RQ5 kDグリッド上での最適な非適応的回路を、深さΘ(√[k]{n})で構築可能か？

主な発見

• 古典的コントローラーを備えたkD近隣構造上での量子回路の深さは、任意の2キュービットゲートを許容する標準的な抽象モデルと、漸近的に同等（定数要因の範囲内）である。
• ショアのアルゴリズムは、2D CCNTCモデルにおいて定数深さ、多項式サイズ、多項式幅で実装可能であり、物理的実装におけるその有用性を裏付けている。
• n個の制御を持つ制御-Uゲートおよびn個のターゲットを持つファンアウトは、2D CCNTCモデルにおいて定数深さ、多項式サイズ、多項式幅で実装可能である。
• kDグリッド上での制御操作およびファンアウトの最適非適応的量子回路は、深さΘ(√[k]{n})、サイズΘ(n)、幅Θ(n)であり、証明された下界と一致する。
• 誤差が1/2未満の制御-Uゲートやファンアウトを実装する任意のkD NANTC回路は、深さΩ(√[k]{n})以上でなければならない。これは、提案された構成の最適性を示している。
• この下界は一般のε感受性操作のクラスに適用可能であり、kDグリッド上でのこのようなタスクにΩ(√[k]{n})の深さが本質的であることを示している。