[論文レビュー] Optimal tracking for dynamical systems

Kevin McGoff, Andrew B. Nobel|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Statistical Methods and Inference被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、動的システムにおける最適追従の制限平均コストの変分的特徴付けを、動的不変結合（ジョイニング）を用いて確立し、最適ジョイニングの集合が凸かつコンパクトであることを証明する。統計的推論における最適追従下での一般収束定理を導出し、量子化されたエルゴード的観測からの回帰推定およびシステム同定における一貫性結果を可能にする。

ABSTRACT

We study the limiting behavior of the average per-state cost when trajectories of a topological dynamical system are used to track a trajectory from an observed ergodic system. We establish a variational characterization of the limiting average cost in terms of dynamically invariant couplings, also known as joinings, of the two dynamical systems, and we show that the set of optimal joinings is convex and compact in the weak topology. Using these results, we establish a general convergence theorem for the limiting behavior of statistical inference procedures based on optimal tracking. The setting considered here is general enough to encompass traditional statistical problems with weakly dependent, real-valued observations. As applications of the general inference result, we consider the consistency of regression estimation under ergodic sampling and of system identification from quantized observations.

研究の動機と目的

• 観測されたエルゴード的システムからの軌道を用いて、トポロジカルな動的システムの軌道を用いて、最適追従における制限平均コストを特徴付けること。
• 弱位相における最適ジョイニングの集合の凸性およびコンパクト性を確立すること。
• 最適追従に基づく統計的推論手順の一般収束定理を構築すること。
• 一般推論結果を回帰推定におけるエルゴード的サンプリング下での一貫性の証明に適用すること。
• フレームワークを量子化観測からのシステム同定に拡張すること。

提案手法

• トポロジカルな動的システムの軌道上の各状態における平均コストを最小化する形で追従問題を定式化すること。
• 観測システムと追従システムの間の動的不変結合（ジョイニング）を用いて、制限コストを特徴付けること。
• 変分原理を適用し、最小制限コストをすべてのジョイニング上の下界として表現すること。
• 位相的および測度論的議論を用いて、最適ジョイニングの集合が弱位相において凸かつコンパクトであることを証明すること。
• 最適ジョイニングのコンパクト性および凸性を用いて、最適追従に基づく統計的手順の一般収束定理を導出すること。
• 一般枠組みを特定の推論問題に適用し、エルゴード的サンプリング下の回帰および量子化データからのシステム同定を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的システムにおける最適追従の制限平均コストの変分的特徴付けは何か？
• RQ2 動的不変結合（ジョイニング）は最適追従コストとどのように関係するか？
• RQ3 最適ジョイニングの集合に成立する位相的および測度論的性質は何か？
• RQ4 最適追従フレームワークを用いて統計的推論手順の収束をどのように確立できるか？
• RQ5 エルゴード的または量子化観測下での回帰およびシステム同定に対して、どのような一貫性結果を導出できるか？

主な発見

• 最適追従における制限平均コストは、2つのシステムのすべての動的不変結合（ジョイニング）上の下界としての変分的特徴付けを有する。
• 最適ジョイニングの集合は弱位相において凸かつコンパクトであり、安定性および収束性の性質を保証する。
• 最適追従に基づく統計的推論手順の一般収束定理が確立され、弱い依存性および実数値観測に適用可能である。
• エルゴード的サンプリング下での回帰推定が、この枠組み内で一貫していることが示された。
• 提案された追従および推論アプローチを用いて、量子化観測からのシステム同定が一貫していることが証明された。
• このフレームワークは、エルゴード性下での統計的推論の既存結果を統合・一般化し、非i.i.d.および量子化観測モデルへ拡張可能である。