[論文レビュー] Optimizing entropy relative to a channel or a subalgebra

Armin Uhlmann|ArXiv.org|Jan 14, 1997

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、コンネス、ナールホーファー、ティリングが定義した状態に関する部分代数のエントロピーを拡張し、量子チャネルまたは部分代数に関してエントロピーを最適化する屋根ベースの枠組みを導入する。エントロピー関数 $ H_{\omega}(\alpha) $ が、出力エントロピーと凹関数の屋根 $ R $ の和として一意に特徴づけられることを確立し、主な結果として $ H_{\omega} = 0 $ が純粋状態で成り立ち、$ R $ が連続的かつ凸的であることが示され、極値分解を用いた効率的な計算が可能になる。

ABSTRACT

After recalling definition, monotonicity, concavity, and continuity of a channel's entropy with respect to a state (finite dimensional cases only), I introduce the roof property, a convex analytic tool, and show its use in treating an example. Full proofs and more examples will appear elsewhere. The relation (a la Benatti) to accessible information is mentioned.

研究の動機と目的

• 有限次元系において、状態に関して量子部分代数またはチャネルのエントロピーを計算・特徴づけるためのツールを開発すること。
• コンネス、ナールホーファー、ティリングの枠組みを拡張し、エントロピー関数 $ H_{\omega}(\alpha) $ を取り扱うために屋根概念を導入すること。
• エントロピー関数 $ H_{\omega}(\alpha) $ が、純粋状態で消失することと、凹関数の屋根と出力エントロピーへの分解に依存して一意に特徴づけられることを証明すること。
• 相対エントロピーの極小値を表す関数 $ R(\omega) $ が凸屋根であることを示し、これにより連続的かつ純粋状態集合による分解を用いた計算が可能になること。

提案手法

• 本稿では、最適な純粋状態集合の凸包上でアフィンである関数として定義される「屋根」の概念を用いて、エントロピー $ H_{\omega}(\alpha) $ を特徴づける。
• $ H_{\omega}(\alpha) = S(\omega \circ \alpha) - R(\omega) $ と定義し、ここで $ R(\omega) $ は状態空間上でのエントロピー関数の凸包である。
• 屋根概念を適用することで、$ R(\omega) $ が連続的かつ凸的であり、かつ純粋状態のみを用いた最適分解が存在することを示す。
• 本稿では、$ S(\omega \circ \alpha) $ の凹性と $ R(\omega) $ の凸性を組み合わせることで、$ H_{\omega}(\alpha) $ が $ \omega $ に関して凹的であることを証明する。
• Carathéodoryの定理を適用し、すべての状態が有限個の純粋状態からなる最適極値分解を有することを示す。
• 2つの例を分析する：(1) ビットの対角部分代数では $ R(\omega) = s(q) + s(1-q) $ が得られ、ここで $ q = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{1 - 4|z|^2} $ であり、(2) ブロック対角部分代数では $ R(\omega) \leq r_2(\sum |z_j|) $ が成り立ち、$ \sum |z_j| \leq \frac{1}{2} $ のとき等号が成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態に関して、量子チャネルまたは部分代数のエントロピーを体系的に最適化する方法は何か？
• RQ2 関数 $ H_{\omega}(\alpha) $ は状態空間上の性質によってどのように一意に特徴づけられるか？
• RQ3 相対エントロピー式 $ R(\omega) $ の極小値が極値（純粋状態）分解によって達成される条件は何か？
• RQ4 関数 $ R(\omega) $ が凸屋根であることを示し、その結果、連続性と計算可能性に与える影響は何か？
• RQ5 どのような場合に、エントロピー関数 $ H_{\omega}(\alpha) $ が標準的なフォン・ノイマンエントロピーに簡略化されるか？

主な発見

• エントロピー $ H_{\omega}(\alpha) $ は、出力エントロピー $ S(\omega \circ \alpha) $ と凹関数の屋根 $ R(\omega) $ の和として一意に特徴づけられ、純粋状態では $ H_{\omega}(\alpha) = 0 $ が成り立つ。
• 関数 $ R(\omega) $ は、すべての凸分解 $ \{p_j; \omega_j\} \mapsto \omega $ における $ \sum p_j S(\omega_j \circ \alpha) $ の極小値として定義され、状態空間上で凸的かつ連続的である。
• すべての状態 $ \omega $ は、$ H_{\omega}(\alpha) = I(\mathcal{E}, \alpha) $ かつ $ R(\omega) = \sum p_j S(\varrho_j) $ を満たす純粋状態への最適極値分解を有する。
• 2レベル系の対角部分代数の場合、$ R(\omega) = s(q) + s(1-q) $ であり、ここで $ q = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{1 - 4|z|^2} $ であり、この式は $ |z| $ に関して凸的である。
• $ (n+1) \times (n+1) $ の場合、出力代数がブロック対角であるとき、$ R(\omega) \leq r_2(\sum |z_j|) $ が成り立ち、$ \sum |z_j| \leq \frac{1}{2} $ のとき等号が成立する。ここで $ r_2(z) = \ln 2 - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(1 - 4z^2)^k}{2k(2k-1)} $ である。
• 関数 $ R(\omega) $ は凸屋根であり、状態空間の極値境界で2つの凸屋根が一致するならば、それらは同一であるため、一意性が保証される。