[論文レビュー] Orbit equivalence of one-sided subshifts and the associated C^*-algebras

Kengo Matsumoto|ArXiv.org|Sep 8, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、λ-図式から得られる2つの片側的サブシフトが、連続的軌道同値であるための必要十分条件を示している。それは、それらに付随するC*-代数の間の同型が、基礎となる空間上の連続関数の可換C*-部分代数を保存する場合に限る。この同値性は、さらに、それらの空間の間の位相的全単写像が、それらの位相的フル逆半群を混合する場合にも同値である。これは、従来のトポロジカル・マルコフ・シフトに関する結果を、λ-図式を介してより広い片側的サブシフトのクラスへ一般化したものである。

ABSTRACT

A $λ$-graph system ${\frak L}$ is a generalization of a finite labeled graph and presents a subshift. We will prove that the topological dynamical systems $(X_{{\frak L}_1},σ_{{\frak L}_1})$ and $(X_{{\frak L}_2},σ_{{\frak L}_2})$ for $λ$-graph systems ${\frak L}_1$ and ${\frak L}_2$ are continuously orbit equivalent if and only if there exists an isomorphism between the associated $C^*$-algebras ${\Cal O}_{{\frak L}_1}$ and ${\Cal O}_{{\frak L}_2}$ keeping their commutative $C^*$-subalgebras $C(X_{{\frak L}_1})$ and $C(X_{{\frak L}_2})$. It is also equivalent to the condition that there exists a homeomorphism from $X_{{\frak L}_1}$ to $X_{{\frak L}_2}$ intertwining their topological full inverse semigroups. In particular, one-sided subshifts $X_{Λ_1}$ and $X_{Λ_2}$ are $λ$-continuously orbit equivalent if and only if there exists an isomorphism between the associated $C^*$-algebras ${\Cal O}_{Λ_1}$ and ${\Cal O}_{Λ_2}$ keeping their commutative $C^*$-subalgebras $C(X_{Λ_1})$ and $C(X_{Λ_2})$.

研究の動機と目的

• トポロジカル・マルコフ・シフトから一般の片側的サブシフトへ連続的軌道同値理論を拡張すること。
• 関連するC*-代数の同型がそれらの可換C*-部分代数を保存するという観点から、連続的軌道同値の特徴づけを確立すること。
• 連続的軌道同値が、それらの基礎となる空間の間の位相的全単写像が、それらの位相的フル逆半群を混合するという条件と同値であることを示すこと。
• Cuntz-Krieger代数と軌道同値に関する先行研究を、λ-図式を介して一般のサブシフトの設定へ一般化すること。
• 片側的サブシフトにおける位相的力学系、C*-代数、および軌道同値を統一的に結びつけるフレームワークを提供すること。

提案手法

• 片側的サブシフトを表現するための一般化された有限ラベル付きグラフとしてのλ-図式を用い、関連するC*-代数の構成を可能にする。
• 動的系の位相的フル逆半群を、各点をその軌道上の点に写すホメオモルフィズムの集合として定義する。この写像は連続的軌道コサイクルを持つ。
• 連続的軌道同値が、2つの系の基礎となる空間の間の位相的全単写像が、それらの位相的フル逆半群を混合する場合に同値であることを確立する。
• 連続的軌道同値が、空間上の連続関数の可換C*-部分代数を保存するC*-代数同型の存在を意味することを証明する。
• C*-代数内の標準的なAF代数が、サブシフト空間上の連続関数の可換C*-部分代数を含むことを利用している。
• C*-クロス積の理論と、対角部分代数を保存する同型を適用し、Tomiyamaの結果を、ホメオモルフィズムでない連続な全射へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの片側的サブシフトが連続的軌道同値であるのはいつか？
• RQ2 連続的軌道同値と、関連するC*-代数の同型が可換C*-部分代数を保存する関係の正確な関係は何か？
• RQ3 片側的サブシフトの文脈において、位相的フル逆半群は軌道同値とどのように関係するか？
• RQ4 トポロジカル・マルコフ・シフトにおける軌道同値理論を、λ-図式を介して一般の片側的サブシフトへ一般化できるか？
• RQ5 サブシフト空間間の位相的全単写像が、可換部分代数を保存するC*-代数同型を誘導するための条件は何か？

主な発見

• 2つの片側的サブシフトが連続的軌道同値であるための必要十分条件は、それらに付随するC*-代数の間の同型が、空間上の連続関数の可換C*-部分代数を保存する場合に限る。
• 連続的軌道同値は、基礎となる空間の間の位相的全単写像が、それらの位相的フル逆半群を混合するという条件と同値である。
• この結果は、Tomiyamaのトポロジカル自由ホメオモルフィズムに関する連続的軌道同値の定理を、ホメオモルフィズムでない連続な全射へ一般化したものである。
• 2つの両側的サブシフト Λ₁ と Λ₂ から得られる片側的サブシフトに関して、λ-連続的軌道同値が成り立つのは、C*-代数 𝒪_Λ₁ と 𝒪_Λ₂ 間の同型が、可換部分代数 C(X_Λ₁) と C(X_Λ₂) を保存する場合に限る。
• C*-代数内の標準的なAF代数は、サブシフト空間上の連続関数の可換C*-部分代数を含み、この包含関係は同型のもとで保存される。
• 片側的サブシフト間の位相的同相は、λ-連続的軌道同値を含み、したがって可換部分代数を保存するC*-代数同型を誘導する。