[論文レビュー] Ordered Line and Skew-Fields in the Desargues Affine Plane

Orgest Zaka, James F. Peters|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

Mathematics and Applications参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、座標を用いないで、平行投影と同順関係に基づく幾何的作図を用いて、デルガルズのアフィン平面内の順序付き直線から順序付き歪体を構成する。主な貢献は、このような順序付き直線に基づいて構成された任意の歪体が順序付き歪体であることを証明することであり、ℝ²における有限の場合には有限順序付き歪体となり、さらにそれがパピュス構造を示すことを示している。

ABSTRACT

This paper introduces ordered skew fields that result from the construction of a skew field over an ordered line in a Desargues affine plane. A special case of a finite ordered skew field in the construction of a skew field over an ordered line in a Desargues affine plane in Euclidean space, is also considered. Two main results are given in this paper: (1) every skew field constructed over a skew field over an ordered line in a Desargues affine plane is an ordered skew field and (2) every finite skew field constructed over a skew field over an ordered line in a Desargues affine plane in $\mathbb{R}^2$ is a finite ordered skew field.

研究の動機と目的

• デルガルズのアフィン平面内の順序付き直線から座標に依存しない方法で歪体を構成するための手法を確立すること。
• 座標を用いずに、ヒルベルトの点の順序の概念に基づいて、デルガルズのアフィン平面内に順序付き直線を幾何的に定義すること。
• このような順序付き直線に基づいて構成された歪体が順序付き歪体であることを証明すること。
• ℝ²における有限歪体の特別な場合を検討し、それが有限順序付き歪体であることを示すこと。
• この構成における有限順序付き歪体がパピュスの定理を満たす（つまりパピュス的である）ことを示すこと。

提案手法

• ヒルベルトの同順関係の公理およびプレイファイアの平行線公理を用いて、デルガルズのアフィン平面における幾何的構造を定義する。
• ヒルベルトの点の順序の概念に基づき、座標を用いずに同順関係の関係によって順序付き直線を定義する。
• 平行投影を用いて、直線上の体演算（加法および乗法）を構成する。
• 平行投影による順序の保存を応用して、得られた歪体の順序公理を検証する。
• 点 O, I, A, B, C, E, I を用いた幾何的作図により乗法を定義し、順序の保存を検証する。
• デルガルズおよびパピュスの公理に依存して、代数的構造が歪体であり、有限の場合には体であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標を用いずに、デルガルズのアフィン平面内の順序付き直線から幾何的に順序付き歪体を構成できるか？
• RQ2 デルガルズのアフィン平面内の順序付き直線に基づく歪体の幾何的構成は、順序付き歪体をもたらすか？
• RQ3 ℝ²におけるデルガルズのアフィン平面内の順序付き直線に基づいて構成された任意の有限歪体は、有限順序付き歪体か？
• RQ4 ℝ²におけるこの構成で得られる有限順序付き歪体はパピュスの定理を満たす（つまりパピュス的か）？
• RQ5 直線上の順序は、幾何的演算を介して、歪体全体に整合性のある順序を誘導するか？

主な発見

• デルガルズのアフィン平面内の順序付き直線に基づいて構成された任意の歪体は、順序を保つ平行投影を用いた証明により、順序付き歪体である。
• 有限の場合、ℝ²におけるデルガルズのアフィン平面内の順序付き直線に基づいて構成された歪体は、すべて有限順序付き歪体である。
• ℝ²で構成された有限順序付き歪体は、パピュスの定理を満たすため、パピュス的である。
• 直線上の順序は、平行投影による幾何的乗法によって保存され、乗法的構造が順序を尊重することが保証される。
• この構成は完全に幾何的であり、座標に依存せず、接続、平行性、および同順関係にのみ依存する。
• この結果は、アルチンおよびリプマンの研究を一般化し、幾何的平面から導かれる歪体における順序の直接的で構成的証明を提供する。