[논문 리뷰] Orlov and Viterbo functors in partially wrapped Fukaya categories

Zachary Sylvan|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 06.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 31인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 부분적으로 랩프된 푸카야 분야에서 오르로프 호모지의 구형성에 대한 기하학적 기준을 수립한다. 오르로프 호모지가 정확히 그 정지점이 교환 가능할 때, 즉 원래의 정지점을 피하는 조건에서 그 정지점의 양의 리브 푸시오프에서 음의 리브 푸시오프로 가는 접촉 이sovopy가 존재할 때, 오르로프 호모지가 구형임을 보여준다. 또한 바이터보 전이 호모지가 바이터보 도메인 사이의 호모로지적 에피모르피즘임을 증명하여, 모듈러 범주로의 전이 후에 국소화가 되는 것을 의미하며, 이는 간트라-파르돈-쉐nde의 결과를 정지점 제거 조건 하에서 비-바이터보 코버디즘으로 일반화한다.

ABSTRACT

We study two functors between (partially) wrapped Fukaya categories. The first is the Orlov functor from the Fukaya category of a stop to the Fukaya category of the ambient sector. We give a geometric criterion for when this functor is spherical in the sense of Anno-Logvinenko. This criterion is a generalization of the situation where the stop comes from a Landau-Ginzburg model. The second functor is the Viterbo transfer map from a Liouville domain to a subdomain. We show that when the domain and subdomain are independently Weinstein, this functor is a homological epimorphism, which means that it becomes a localization after passing to module categories. This should be compared with a result of Ganatra-Pardon-Shende, which states that the Viterbo map is a genuine localization when the cobordism is Weinstein.

연구 동기 및 목표

• 안노-로브니코프의 관점에서 정지점에서 그 환경 섹터로의 오르로프 호모지가 언제 구형이 되는지를 결정하기 위한 기하학적 조건을 규명하는 것.
• 기존의 랜다-긴즈부르크 모델에서의 오르로프 호모지의 알려진 구형성 결과를 새로운 기하학적 기준을 통해 일반적인 정지점으로 일반화하는 것.
• 바이터보 도메인 사이의 바이터보 전이 호모지가 호모로지적 에피모르피즘임을 보여주고, 이는 모듈러 범주에서 국소화로 변환됨을 의미하는 것.
• 바이터보 전이 맵과 오르로프 호모지 구성 간의 관계를 명확히 하고, 정지점 제거 조건 하에서의 동치성을 검증하는 것.
• 교환 가능성과 구형 호모지 사이의 대칭적이고 해부학적 유사성을 탐색하며, 교환 불가능한 구형 호모지가 매우 이국적인 성질을 가짐을 시사하는 것.

제안 방법

• 정지점이 교환 가능한지 여부를 판단할 수 있는 '교환 가능한 정지점'의 개념을 도입: 정지점의 양의 리브 푸시오프에서 음의 리브 푸시오프로 가는 접촉 이sovopy가 원래 정지점을 피하는 경우.
• 리브 흐름을 따라가는 이sovopy와 교환 이sovopy를 이용해 자동동치를 정의: '단일 랩' Wφ와 '단일 순환' Mφ를 정의하고, 이들이 교환 이sovopy의 선택과 무관함을 보임.
• 접합된 범주의 분해를 통해 오르로프 호모지의 상을 해석하고, 접합 이중모듈러를 이용해 구형 구조를 검증함.
• 모듈러 범주로의 전이 후에 국소화가 되는 것으로 보여, 바이터보 전이 호모지가 호모로지적 에피모르피즘임을 증명함.
• 모저의 보조정리와 접촉 이sovopy 확장 정리를 적용하여 접촉형형사상과 심플렉틱형형사상 간의 관계를 설정하고, 이sovopy와 심플렉틱 변형 간의 동치성을 확립함.
• '양의' 자동동치(즉, A-양의성과 B-양의성)의 개념을 사용하여 교환 자동동치 Sφ의 구형 구조를 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정지점에서 그 환경 섹터로의 오르로프 호모지가 언제 기하학적으로 구형이 되는가?
• RQ2 정지점의 교환 가능성은 푸카야 범주 내에서 단일 랩 및 단일 순환 자동동치의 존재와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 바이터보 도메인 사이의 바이터보 전이 호모지는 호모로지적 에피모르피즘인가? 이는 모듈러 범주에서의 행동에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 정지점 제거 조건 하에서 바이터보 전이 맵을 오르로프 호모지로 일관적으로 정의할 수 있는가? 이는 이전의 구성과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 교환 가능성의 대수적 대응은 무엇이며, 이는 심플렉틱 설정에서의 구형 호모지와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 오르로프 호모지는 정지점이 교환 가능할 때에만 구형이며, 이는 랜다-긴즈부르크 모델을 초월한 기하학적 구형성의 특성화를 제공한다.
• 단일 순환 자동동치 Mφ는 이동된 쌍대 코트위스트 M′[−2]와 동형이며, 단일 랩 자동동치 Wφ는 쌍대 투습 W′과 동형이며, 둘 다 교환 이sovopy의 선택과 무관하다.
• 바이터보 도메인 사이의 바이터보 전이 호모지는 호모로지적 에피모르피즘이며, 이는 모듈러 범주로의 전이 후에 국소화가 된다는 의미이다.
• 교환 이sovopy에 의해 유도된 자동동치 Sφ는 구형 교환으로서, 접합된 범주의 분해를 통해 A-양의성과 B-양의성을 검증함.
• 정지점 제거 조건이 성립할 경우, 오르로프 호모지를 통한 바이터보 맵의 구성은 원래 정의와 동치이며, 이 조건은 모든 바이터보 도메인에서 성립한다.
• Mφ와 Wφ가 이sovopy φ에 대해 독립적이므로, 정지점 집합을 전지적으로 유지하는 임의의 심플렉틱형형사상은 이러한 자동동치와 교환 가능하다.