[論文レビュー] Outer automorphism groups of some ergodic equivalence relations

Alex Furman|ArXiv.org|Dec 17, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、Zimmerの超剛性、Ratnerの定理、Gromovの測度同値性を用いて、ある条件下で、高ランク格子作用によって生成されるエルゴディック同値関係の外部自己同型群が自明であることを確立している。標準的格子作用（例：PSL_n(Z[S^{-1}]）に対して、Out(R)が自明であることを示しており、測度的力学系における剛性に関する結果を拡張している。

ABSTRACT

Let R a be countable ergodic equivalence relation of type II_1 on a standard probability space (X,m). The group Out(R) of outer automorphisms of R consists of all invertible Borel measure preserving maps of the space which map R-classes to R-classes modulo those which preserve almost every R-class. We analyze the group Out(R) for relations R generated by actions of higher rank lattices, providing general conditions on finiteness and triviality of Out(R) and explicitly computing this group for the standard actions. The method is based on Zimmer's superrigidity for measurable cocycles, Ratner's theorem and Gromov's Measure Equivalence construction.

研究の動機と目的

• 可算なエルゴディック同値関係 R（型II₁）の外部自己同型群 Out(R) が有限または自明となる条件を特定すること。
• 半単純リー群内の高ランク格子の標準的作用から生じる軌道同値関係に対して、Out(R) を明示的に計算すること。
• 群作用および可測コサイクルを用いて Out(R) の構造を分析することで、測度的力学系における既知の剛性結果を拡張すること。
• 同値関係 R の外部自己同型群と、作用する格子 Γ の外部自己同型群との間の関係を確立すること。
• 非可約で高ランクの格子作用に対して、作用が標準的でかつ格子が算術的であるとき、Out(R) が自明であることを証明すること。

提案手法

• 可測コサイクルに対するZimmerの超剛性定理を適用し、同値関係の可測対称性を分析する。
• 同調空間における単心的フローに関するRatnerの定理を用いて、エルゴディック成分および軌道同値関係の構造を制御する。
• Gromovの測度同値性構成を用いて、格子作用の力学と周囲のリー群の幾何学とを関連付ける。
• 格子の境界またはプロファイントコンプリートへの外部自己同型の作用を分析し、特にアデール的コンプリートにおける部分群の閉包を用いる。
• 強近似定理を適用し、格子の共役群に属する要素が算術的部分群（例：PSL_n(Z[S^{-1}])) に属することを示す。
• 問題を、ねじれた作用を intertwine する可測写像の分析に還元し、それらが群自己同型によって誘導されるアフィン写像でなければならないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的確率空間上の高ランク格子作用における外部自己同型群 Out(R) が自明である条件は何か？
• RQ2 同値関係 R の外部自己同型は、作用する格子 Γ の外部自己同型とどのように関係しているか？
• RQ3 軌道同値関係 R の可測対称性は、群自己同型または共役元によって誘導されるアフィン写像として実現可能か？
• RQ4 格子の算術的構造（例：PSL_n(Z[S^{-1}])) は、Out(R) の自明性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 超剛性および測度同値性の技法は、R の可能な外部自己同型をどの程度制限するか？

主な発見

• 半単純リー群 G に非可約に作用する高ランク格子 Γ（rank ≥ 2）の標準的作用に対して、関連する軌道同値関係 R の外部自己同型群 Out(R) は自明である。
• R の外部自己同型群は、格子 Γ の外部自己同型群の商と同型であり、算術的格子（例：PSL_n(Z[S^{-1}])) に対しては、この商は自明である。
• 任意の R の外部自己同型は、Γ の群自己同型または共役元から生じるが、測度類を保存する限り、それらの要素は算術的部分群 PSL_n(Z[S^{-1}]) に属する必要がある。
• 証明では、R の外部自己同型を誘導する任意の可測写像がアフィン的で、共役群の要素による内自己同型に共役であることが示され、その共役群の要素が算術群に属することを示している。
• 鍵となるステップは、共役群の要素 g₁ ∈ PSL_n(ℚ) が実際に PSL_n(ℤ[S⁻¹]) に属することを、強近似定理と測度論的密度の議論を用いて証明することである。
• この結果は、Gefter の初期の例を一般化し、Out(R) が自明であるような広範なエルゴディック同値関係のクラスを提供しており、測度的力学系における剛性現象を確認している。