[論文レビュー] Overcoming slowly decaying Kolmogorov n-width by transport maps: application to model order reduction of fluid dynamics and fluid--structure interaction problems

Monica Nonino, Francesco Ballarin+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 51被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、輸送マップ前処理手法を提案し、輸送優勢な流体動力学および流体構造挙動問題における低次元モデル化のコルモゴロフ n-幅の収束を加速する。標準的な固有直交分解（POD）では固有値の収束が遅いため、そのような問題では大きな低次元基底次元を必要とする。本手法では、POD の前段階でスムーズかつ可逆な写像をスナップショットに適用することで、同じ精度を達成するための基底次元を最大で10倍まで削減でき、パrametrized および非定常流れシミュレーションにおけるオンライン効率を顕著に向上させる。

ABSTRACT

In this work we focus on reduced order modelling for problems for which the resulting reduced basis spaces show a slow decay of the Kolmogorov $n$-width, or, in practical calculations, its computational surrogate given by the magnitude of the eigenvalues returned by a proper orthogonal decomposition on the solution manifold. In particular, we employ an additional preprocessing during the offline phase of the reduced basis method, in order to obtain smaller reduced basis spaces. Such preprocessing is based on the composition of the snapshots with a transport map, that is a family of smooth and invertible mappings that map the physical domain of the problem into itself. Two test cases are considered: a fluid moving in a domain with deforming walls, and a fluid past a rotating cylinder. Comparison between the results of the novel offline stage and the standard one is presented.

研究の動機と目的

• 輸送優勢な流体動力学および流体構造挙動問題における低次元モデル化における、遅いコルモゴロフ n-幅の収束という課題に対処すること。
• このような問題において固有値の収束が遅く、大きな低次元基底次元を必要とする標準的固有直交分解（POD）の限界を克服すること。
• 解多様体の近似特性を向上させるために、オフライン段階でスナップショットを輸送マップで変換する前処理手法の開発。
• 回転するシリンダーの周りの流れおよび進行波を示す流体構造挙動問題という2つのベンチマーク問題において、本手法の有効性を示すこと。
• オンライン段階での計算コストを増加させることなく、正確なオンラインシミュレーションに必要な基底関数の数を大幅に削減すること。

提案手法

• 解多様体のスナップショットを固有直交分解（POD）の前段階で、スムーズかつ可逆な輸送マップの族を適用する。
• 輸送マップは、渦核の位置や波の伝播角度といった、事前に得られた解の挙動に関する知識に基づいて定義され、変換後の多様体がより速いコルモゴロフ n-幅の収束を示すように設計される。
• 前処理はオフライン段階でのみ適用され、低次元基底法のオンライン効率を保つ。
• 本手法は、変換後の解多様体が近似特性が向上しており、その結果としてPOD固有値の収束が速くなるという仮定に依存している。
• 2つのテストケースにおいて、渦の位置や回転角度といった、解の既知の物理的特徴を用いて、輸送マップのパラメータを正確に計算する。
• 標準的なPODと、前処理済みスナップショットに適用したPODとの間で、POD固有値の収束速度と低次元基底次元を比較することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 輸送マップ前処理により、流体動力学および流体構造挙動問題の解多様体におけるコルモゴロフ n-幅の収束が著しく加速されるか。
• RQ2 輸送マップの使用により、与えられた精度を達成するための基底関数の数はどの程度削減されるか。
• RQ3 移動境界に起因する進行波行動や渦の剥離を示す問題において、前処理技術はどの程度有効か。
• RQ4 本手法は、パラメトリックおよび非パラメトリックな非定常問題の両方に対して、オンラインコストを最小限に抑えて効果的に適用可能か。
• RQ5 正確な vs. 近似された輸送マップパラメータの使用が、低次元基底法の性能に与える影響は何か。

主な発見

• 流体構造挙動問題において、前処理を施した10モードの低次元基底は、標準的手法の30モードの基底と同等の精度を達成し、システム次元を少なくとも30％削減した。
• 非パラメトリックな回転するシリンダーの周りの流れのケースでは、前処理後、POD固有値の収束が2桁速くなり、10^-3のオーダーに達するのに必要なモード数は約30から約10に削減された。
• レイノルズ数47、82.72、145のパラメトリックケースにおいて、前処理済みPODの固有値収束は標準PODよりも著しく速く、特にRe=145の際に最も顕著な改善が得られた。
• 流体構造挙動問題の圧力成分において、目標精度に到達するのに必要なモード数を10倍に削減できた。
• 流体速度、変位、圧力のすべての解成分において、改善効果が一貫しており、広範な適用可能性が示された。
• 結果から、輸送マップ前処理が、輸送優勢問題におけるコルモゴロフ n-幅の遅い収束を効果的に克服でき、効率的な低次元モデル化を可能にすることが確認された。