[論文レビュー] Overconvergent relative de Rham cohomology over the Fargues-Fontaine curve

Arthur-César Le Bras|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$\mathbf{C}_p$ 上の分離的擬コン pact な滑らかな剛体空間に対して、Fargues-Fontaine 曲線上のベクトル bundle に値をとる、過収束相対 de Rham コホロロジー理論を構成する。これは、半安定形式的モデルに対する Hyodo-Kato コホロロジーを拡張し、Ayoub の剛体解析的モチーフの圏を通じて Scholze の予想を実現する。

ABSTRACT

We explain how to construct a cohomology theory on the category of separated quasi-compact smooth rigid spaces over $\mathbf{C}_p$ (or more general base fields), taking values in the category of vector bundles on the Fargues-Fontaine curve, which extends (in a suitable sense) Hyodo-Kato cohomology when the rigid space has a semi-stable proper formal model over the ring of integers of a finite extension of $\mathbf{Q}_p$. This cohomology theory factors through the category of rigid analytic motives of Ayoub.

研究の動機と目的

• $\mathbf{C}_p$ 上の滑らかな剛体空間に対して、半安定の場合の Hyodo-Kato コホロロジーを一般化するコホロロジー理論を構成すること。
• この理論が、$p$-進ホッジ理論の中心的対象たる Fargues-Fontaine 曲線上のベクトル bundle に値をとることを実現すること。
• 剛体解析的モチーフの Ayoub の圏を通じてコホロロジー理論が因子化されることを示し、Scholze の予想を証明すること。
• Fargues-Fontaine 曲線の幾何的枠組みを用いて、既存の $p$-進コホロロジー理論を統一的かつ拡張すること。
• $p$-進幾何学およびホッジ理論の文脈において、過収束 de Rham コホロロジーのモチーフ的解釈を提供すること。

提案手法

• 分離的擬コン pact な滑らかな剛体空間のカテゴリ上にコホロロジー理論 $\mathcal{FF}$ を構成する。
• プロ・エタール周期層とデカルージュ関手を用いて、$p$-進コホロロジー不変量を Fargues-Fontaine 曲線上のベクトル bundle に結びつける。
• Ayoub の剛体解析的モチーフ理論を適用し、コホロロジー理論がモチーフの圏を通じて因子化されることを示す。
• Fargues-Fontaine 曲線を $p$-進ホッジ理論の幾何的モデルとして用い、その商構造 $X = Y/\varphi^{\mathbb{Z}}$ を利用する。
• $\mathcal{O}_K$ 上の半安定な固有形式的モデルの存在により、Hyodo-Kato コホロロジーと整合性を持つことを確立する。
• 付随する $\varphi$-作用 $\varphi$ を用いて、付随する $\varphi^{\mathbb{Z}}$ による商として曲線 $X$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\mathbf{C}_p$ 上の剛体空間に対して、半安定の場合の Hyodo-Kato コホロロジーを拡張する相対 de Rham コホロロジー理論を構成できるか？
• RQ2 Fargues-Fontaine 曲線は、$p$-進ホッジ構造の普遍的パrameter空間として、どのような意味で機能するか？
• RQ3 このコホロロジー理論が、Ayoub の剛体解析的モチーフの圏を通じて因子化可能か？
• RQ4 過収束 de Rham コホロロジーと Fargues-Fontaine 曲線の幾何学的性質との関係は何か？
• RQ5 この構成は、$p$-進コホロロジーのモチーフ的性質に関する Scholze の予想をどのように実現するか？

主な発見

• この論文は、Fargues-Fontaine 曲線上のベクトル bundle に値をとるコホロロジー理論 $\mathcal{FF}$ を構成する。
• $\mathcal{FF}$ は、$\mathcal{O}_K$ 上の半安定な固有形式的モデルをもつ剛体空間に対して、Hyodo-Kato コホロロジーを拡張する。
• コホロロジー理論 $\mathcal{FF}$ は、Ayoub の剛体解析的モチーフの圏を通じて因子化される。
• この構成は、Fargues-Fontaine 曲線を通じた $p$-進ホッジ理論の幾何的実現を提供する。
• 理論はフロベニウス作用と、曲線が商 $Y/\varphi^{\mathbb{Z}}$ としての構造と整合性を持つ。
• この結果は、Fargues-Fontaine 曲線上のベクトル bundle に値をとるモチーフ的 $p$-進コホロロジー理論の存在に関する Scholze の予想を確認する。