[論文レビュー] The pro-étale topology for schemes

Bhargav Bhatt, Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 74

ひとこと要約

本稿は、スキーム上の新しいグロテンディーク位相としてのpro-étale位相を導入し、Qℓ-層の滑らかで可構成な導来圏の定義を単純化するとともに、Qℓ-ホモトピー型の直接的構成を可能にする。Qℓ-モジュールの層をpro-étaleサイト上で定義することにより、滑らかで可構成な層が自然に特徴づけられる幾何的直感に富んだ枠組みを構築し、非正則なスキームに対してもすべての滑らかなQℓ-層を捉えるpro-étale基本群を定義する。

ABSTRACT

We give a new definition of the derived category of constructible $\ell$-adic sheaves on a scheme, which is as simple as the geometric intuition behind them. Moreover, we define a refined fundamental group of schemes, which is large enough to see all lisse $\ell$-adic sheaves, even on non-normal schemes. To accomplish these tasks, we define and study the pro-étale topology, which is a Grothendieck topology on schemes that is closely related to the étale topology, and yet better suited for infinite constructions typically encountered in $\ell$-adic cohomology. An essential foundational result is that this site is locally contractible in a well-defined sense.

研究の動機と目的

• スキーム上の可構成的Qℓ-層の導来圏の幾何的直感的な定義を提供すること。
• 非正則なスキーム上でもすべての滑らかなQℓ-層を分類できる基本群を定義すること。
• pro-étaleサイト上の導来全体切断を用いて、直接的かつ計算可能なQℓ-ホモトピー型を構成すること。
• 逆極限構成を良好な位相に置き換えることで、ℓ-進コホモロジーにおける技術的障害を解消すること。

提案手法

• 弱エタールX-スクリーンのfpqc被覆を備えた、弱エタールX-スクリーンのサイトXproétを導入する。
• Xproét上の滑らかで可構成なQℓ-層を、有限ランクの局所自由かつ区分けられた層として定義する。
• pro-étaleトポスを用いて、可構成なコホモロジーを持つ有界複体の全三角的部分圏としてDb_c(X, Qℓ)を定義する。
• pro-étaleトポスが局所的コホモロジー的性質を有することを確立し、良好なホモトピー的性質を保証する。
• RΓ(Xproét, Qℓ)として、Qℓ-代数の可換な微分付き代数としてのQℓ-ホモトピー型を構成する。
• 滑らかなQℓ-層のファイバー関手上の自己同型群として、pro-étale基本群πproét₁(X, x)を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆極限を用いず、単一のサイト上で可構成的Qℓ-層の導来圏を直接定義できるか？
• RQ2 pro-étale位相により、Qℓ-ホモトピー型の幾何的自然な構成が可能か？
• RQ3 非正則なスキーム上でも、すべての滑らかなQℓ-層を分類できる基本群を定義できるか？
• RQ4 ホモトピー的構成を支援するように、pro-étaleトポスが局所的コホモロジー的性質を有するか？

主な発見

• pro-étaleサイトXproétは局所的コホモロジー的であり、良好なホモトピー的性質を保証し、Qℓ-ホモトピー型がRΓ(Xproét, Qℓ)として構成可能である。
• 導来圏Db_c(X, Qℓ)は、Db_c(X, Z/ℓ^nZ)の極限にQℓをテンソル積したものと同値であるが、今やXproét上で直接定義されている。
• pro-étale基本群πproét₁(X, x)は、Xが非正則であっても、すべての滑らかなQℓ-層を分類するのに十分な大きさである。
• 幾何的に一様分岐なスキームに対しては、πproét₁(X, x) ≃ πét₁(X, x)が成り立ち、古典的エタール基本群と整合性を示す。
• πproét₁(X, x)の連続な有限次元Qℓ表現のカテゴリは、滑らかなQℓ-層のカテゴリを再構成する。
• 例7.4.9による例示により、非正則なスキームにおける非可換モノドロミーの問題がpro-étale位相によって解消される。