[論文レビュー] $p$-Adic Haar multiresolution analysis

V. M. Shelkovich, M. Skopina|ArXiv.org|Apr 5, 2007

advanced mathematical theories参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、単位円板の特性関数を再帰的関数として用いる $p$-進多スケール解析（MRA）を導入し、単位円板が半径 $p^{-1}$ の $p$ 個の互いに素な円板に分解されることを反映する自然な再帰方程式を満たす。$p=2$ の場合、得られるハール MRA は $L^2(\mathbb{Q}_2)$ 内で無限個の異なる正規直交ウェーブレット基底を生成するが、これらはすべて同一の再帰的関数から得られる。これは、その関数が周期 1 で周期的であることによる特徴であり、実数ウェーブレット理論には存在しない独自の特徴である。

ABSTRACT

In this paper, the notion of {\em $p$-adic multiresolution analysis (MRA)} is introduced. We use a ``natural'' refinement equation whose solution (a refinable function) is the characteristic function of the unit disc. This equation reflects the fact that the characteristic function of the unit disc is the sum of $p$ characteristic functions of disjoint discs of radius $p^{-1}$. The case $p=2$ is studied in detail. Our MRA is a 2-adic analog of the real Haar MRA. But in contrast to the real setting, the refinable function generating our Haar MRA is periodic with period 1, which never holds for real refinable functions. This fact implies that there exist infinity many different 2-adic orthonormal wavelet bases in ${\cL}^2(\bQ_2)$ generated by the same Haar MRA. All of these bases are constructed. Since $p$-adic pseudo-differential operators are closely related to wavelet-type bases, our bases can be intensively used for applications.

研究の動機と目的

• 古典的な実数ハール多スケール解析の $p$-進版を構築すること。
• 単位円板の特性関数を再帰的関数として用いた $p$-進 MRA の構造を研究すること。
• $2$-進設定における再帰的関数の周期性が、無限個の異なる正規直交ウェーブレット基底を生じることの意味を明らかにすること。
• $L^2(\mathbb{Q}_2)$ 内で同一のハール MRA から生成される明示的な正規直交ウェーブレット基底を構成すること。
• これらのウェーブレット基底と $p$-進擬微分作用素との関係を確立し、特にウェーブレットが固有関数であるような作用素について考察すること。

提案手法

• 単位円板の特性関数 $\chi_{\mathbb{Z}_p}$ を再帰的関数として用いて $p$-進 MRA を定義する。
• 単位円板が半径 $p^{-1}$ の $p$ 個の互いに素な円板に分解されることを反映する再帰方程式を導出する。すなわち、$\chi_{\mathbb{Z}_p}(x) = \sum_{k=0}^{p-1} \chi_{\mathbb{Z}_p}(p^{-1}(x - k))$。
• 特に $p=2$ の場合、再帰的関数が周期 1 で周期的であることを示す。これは実数再帰的関数には見られない性質である。
• 単位行列変換を用いて、同一の MRA からすべての可能な正規直交ウェーブレット基底を生成する。パrameter は複素数の絶対値が 1 である対角単位行列で表される。
• フーリエに類似した変換から得られる係数を用いて、再帰的関数の平行移動およびスケーリング版の線形結合として明示的なウェーブレット関数 $\psi^{(s)}(x)$ を構成する。
• 得られたウェーブレット系が正規直交であり、$p$-進擬微分作用素と整合性を持つため、リゾルキン空間 $\Phi(\mathbb{Q}_2)$ に属することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして古典的実数ハール MRA を一般化する $p$-進多スケール解析を定義できるか？
• RQ2 $2$-進再帰的関数 $\chi_{\mathbb{Z}_2}$ が周期 1 を持つのはなぜか？その波面構築に与える影響は何か？
• RQ3 同一の $p$-進ハール MRA から生成されるすべての正規直交ウェーブレット基底の構造はどのようなものか？
• RQ4 $2$-進の場合に、すべてのこのようなウェーブレット基底に対する明示的公式を導出できるか？
• RQ5 これらのウェーブレット基底は $p$-進擬微分作用素とどのように関係しているか。特に固有関数の性質に関しては？

主な発見

• $p$-進 MRA は、単位円板の特性関数を再帰的関数として用い、単位円板が半径 $p^{-1}$ の $p$ 個の互いに素な円板に分解されることに基づく自然な再帰方程式を満たす。
• $p=2$ の場合、再帰的関数 $\chi_{\mathbb{Z}_2}$ は周期 1 で周期的であり、これは実数再帰的関数には見られない特徴であり、無限個の異なる正規直交ウェーブレット基底の存在を説明する。
• $L^2(\mathbb{Q}_2)$ 内で同一のハール MRA から生成されるすべての正規直交ウェーブレット基底は、$2^s$ 個の複素数位相 $\gamma_k$（$|\gamma_k|=1$）でパラメータ化された単位変換を用いて明示的に構成され、連続的なウェーブレット族を形成する。
• 位相 $\gamma_k$ が特定の三角関数的制約（例：$s=2$ の場合、$\sin\theta_1 = -\sin\theta_4$、$\cos\theta_1 = \cos\theta_4$ など）を満たすとき、ウェーブレット関数 $\psi^{(s)}(x)$ は実数値をとり、一価パラメータ族の実ウェーブレットを生成する。
• 構成されたウェーブレットはコンパクトに台を持つ。$\Phi(\mathbb{Q}_2)$ に属し、特にヴラディミロフ分数階微分作用素の固有関数である。
• ウェーブレット系 $\{\psi_{\gamma a}^{(s)}(x)\}$ は $L^2(\mathbb{Q}_2)$ 内の正規直交基底をなしており、$\int_{\mathbb{Q}_2} \psi_{\gamma a}^{(s)}(x)\,dx = 0$ を満たす。これは、それらが波面の性質を持つことを確認する。