[論文レビュー] P-functor versions of the Nakajima operators

Andreas Krug|arXiv (Cornell University)|May 5, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、滑らかな quasi-projective 表面の点の Hilbert スキームの導来圏上で、導来 McKay 対応を用いて中島の特徴的作用素をカテゴリカルな自己同値に持ち上げることにより、$π^{n-1}$-関手 $H_{\ell,n}$ を構成する。主な貢献は、K3 表面および Kummer 四fold の Hilbert 平面の導来圏におけるこれらの自己同値の間に普遍的な braid 関係が成立することである。

ABSTRACT

For every smooth quasi-projective surface X we construct a series of P^{n-1}-functors H_{l,n}: D(X x X^[l]) --> D(X^[n+l]) between the derived categories of the Hilbert schemes of points for n>max{l,1} using the derived McKay correspondence. They can be considered as analogues of the Nakajima operators. The functors also restrict to P^{n-1}-functors on the generalised Kummer varieties. We also study the induced autoequivalences and obtain, for example, a universal braid relation in the groups of derived autoequivalences of Hilbert squares of K3 surfaces and Kummer fourfolds.

研究の動機と目的

• 滑らかな quasi-projective 表面の点の Hilbert スキームの導来圏において、中島の特徴的作用素をカテゴリカルな $π^{n-1}$-関手に拡張すること。
• 導来 McKay 対応を用いて中島作用素のカテゴリカルな持ち上げを確立すること。
• これらの関手によって誘導される自己同値およびそれらの braid 群関係が、K3 表面および Kummer 四fold の Hilbert 平面の導来圏においてどのように作用するかを研究すること。
• これらの関手が、正則または反正則な canonical bundle を持つ表面に対して、全導来自己同値群を生成すると予想すること。

提案手法

• 関手 $H_{\ell,n} : \operatorname{D}^b(X \times X^{[\ell]}) \to \operatorname{D}^b(X^{[n+\ell]})$ を、自明化、部分対角埋め込み、および $\mathfrak{S}_{n+\ell}$-不変圏へのインフレーションの合成として構成する。
• 導来 McKay 対応 $\Phi : \operatorname{D}^b(X^{[n]}) \xrightarrow{\sim} \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$ を用いて、これらの関手を不変幾何に結びつける。
• $H_{\ell,n}$ の $\mathbb{P}$-余ねじれを $\bar{S}_X^{-[0,n-1]} = \operatorname{id} \oplus \bar{S}_X^{-1} \oplus \cdots \oplus \bar{S}_X^{-(n-1)}$ と特定する。ここで $\bar{S}_X = (\cdot) \otimes \omega_X^{-1}[-2]$ である。
• 関手 $T_{\ell,n}$ を、単位射の余単位射のコーン $H_{\ell,n}H_{\ell,n}^R \oplus \mathsf{M}_a H_{\ell,n}H_{\ell,n}^R \mathsf{M}_a \to \operatorname{id}$ として定義し、$\operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_{n+\ell}}(X^{n+\ell})$ 上の自己同値を得る。
• 一般化された Kummer 多様体にこの構成を適用し、アーベル多様体 $A$ に対して $K_n A$ 上で関手が $\mathbb{P}^{n-1}$-関手に制限され、braid 群関係が導かれるこを示す。
• Hilbert-Chow 射影と不変層の理論を用いて、$T_{\ell,n}$ が $X^m_{\nu(k)}$ 上のストラトに沿ったスカイクラッパー層 $\bar{\mathbb{C}}(x)$ にどのように作用するかを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中島の特徴的作用素は、滑らかな quasi-projective 表面の点の Hilbert スキームの導来圏において、カテゴリカルな $\mathbb{P}^{n-1}$-関手に持ち上げられるか？
• RQ2 これらの $\mathbb{P}^{n-1}$-関手によって誘導される自己同値の構造は何か？ そして、braid 群関係とどのように関係しているか？
• RQ3 これらの関手は、正則または反正則な canonical bundle を持つ表面に対して、$\operatorname{D}^b(X^{[m]})$ の全導来自己同値群を生成するか？
• RQ4 $\mathbb{P}$-ねじれは、特に対称積上のスカイクラッパー層にどのように作用するか、Hilbert スキームのストラトにおいて？

主な発見

• 関手 $H_{\ell,n}$ は $n > \ell$ かつ $n > 1$ のとき $\mathbb{P}^{n-1}$-関手であり、導来 McKay 対応およびインフレーション関手を用いて構成される。
• $H_{\ell,n}$ の $\mathbb{P}$-余ねじれは $\bar{S}_X^{-[0,n-1]} = \operatorname{id} \oplus \bar{S}_X^{-1} \oplus \cdots \oplus \bar{S}_X^{-(n-1)}$ であり、ここで $\bar{S}_X = (\cdot) \otimes \omega_X^{-1}[-2]$ である。
• 誘導された $\mathbb{P}$-ねじれ $T_{\ell,n}$ は、$x \in X^{n+\ell}_{\nu(n)}$ に対して $\bar{\mathbb{C}}(x)$ 上で $[-(n-2)]$ のシフトとして作用し、$\bar{X}^{n+\ell}_{\nu(n)}$ 上では自明に作用する。これは Lemma 5.3 を一般化する。
• $m=2,3$ の場合、$\omega_X$ が正則または反正則であるとき、標準的自己同値と $\mathbb{P}$-ねじれによって生成される群 $\operatorname{Aut}^{st+H}(\operatorname{D}^b(X^{[m]}))$ が全自己同値群に一致すると予想される。
• 自己同値 $t_{m-2,2}$ は $\Phi^{-1} \mathsf{M}_a \Phi \mathsf{M}_{\mathcal{O}(D/2)}$ として定義され、$x \in X^m_{\nu(2)}$ に対して $\bar{\mathbb{C}}(x)$ 上で $[-1]$ のシフトとして作用し、それ以外では自明である。
• この構成は一般化された Kummer 多様体へも拡張可能であり、アーベル多様体 $A$ に対して $K_n A$ 上で関手が $\mathbb{P}^{n-1}$-関手に制限され、導来自己同値群において普遍的な braid 関係が得られる。