[論文レビュー] p-Riesz bases in quasi shift invariant spaces

Laura De Carli, Pierluigi Vellucci|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、 quasi-shift invariant 空間 $ V^p(\beta_m; X) $ 内の $ p $-Riesz 基が、移動集合 $ X $ の小さな摂動のもとで安定するための条件を確立する。$ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ かつ $ \{\tau_{x_j}\psi\} $ が $ p $-Riesz 基であるならば、$ |x_j - y_j| < \delta_j $ であるような小さな移動が基の性質を保つことを証明する。主な結果は、$ 1 < p < \infty $ における $ L^p $-に基づく quasi-shift invariant 空間における $ p $-Riesz 基の局所的安定性定理であり、$ p=2 $ および帯域制限関数の場合に既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $ 1\leq p&lt; \infty$ and let $ψ\in L^{p}(\R^d)$. We study $p-$Riesz bases of quasi shift invariant spaces $V^p(ψ;Y)$.

研究の動機と目的

• 移動集合 $ X $ の小さな摂動の下で、 quasi-shift invariant 空間 $ V^p(\psi; X) $ 内の $ p $-Riesz 基の安定性を調査すること。
• $ Y $ が $ X $ の小さな摂動であるとき、$ \{\tau_{y_j}\psi\} $ が $ V^p(\psi; Y) $ において $ p $-Riesz 基のままであるための十分条件を特定すること。
• $ p=2 $ および帯域制限関数の場合に既知の結果を、$ 1 < p < \infty $ および $ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ の場合に拡張すること。
• $ X $ が相対的に分離されていない場合の $ p $-Riesz 基の挙動を分析し、各インデックスごとに $ \delta_j $ を変化可能にする。
• 波形理論に由来する $ L^p $-空間（$ 0 < p < 1 $）における $ p $-Riesz 基の安定性への影響を探索すること。

提案手法

• 著者たちは、小さな移動における移動関数の変動を制御するために、$ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ のソボレフ空間正則性を用いる。
• $ L^p $-ノルムの差の推定に、ミンコフスキーおよびホルダーの不等式を適用する。
• 重要な推定では、$ \left\| \sum_k \alpha_k (\operatorname{rect}(t-k) - \operatorname{rect}(t - y_k)) \right\|_p \leq 2^p L $ を評価し、ここで $ L = \sup_k |x_k - y_k| $ である。
• 証明は、コンパクトな台を持つ関数の移動関数の差の $ L^p $-ノルムに関する境界を与える補題 11 に依存する。
• 特に $ p \in (1, \infty) $ の場合に、 $ \ell^p $-係数と $ L^p $-関数ノルムとの関係を確立するために、双対性および補間技法を用いる。
• 解析には、特に $ W(L^\infty, \ell^q) $ のようなアマルガム空間を用いて、$ \hat{\psi} $ の挙動を制御するフーリエ解析も含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ V^p(\psi; X) $ 内の $ p $-Riesz 基 $ \{\tau_{x_j}\psi\} $ が、$ y_j \approx x_j $ であるような小さな摂動を受けた後も、依然として $ p $-Riesz 基のままであるための条件は何か？
• RQ2 $ X $ が相対的に分離されていない場合、$ \delta_j \to 0 $ を許容することで、$ p $-Riesz 基の安定性を保証できるか？
• RQ3 $ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ のソボレフ正則性が、$ p $-Riesz 基の局所的安定性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 $ p=2 $ および帯域制限関数の場合の安定性結果が、$ 1 < p < \infty $ にどのように拡張されるか？
• RQ5 $ p \neq q $ のとき、$ V^q(\psi; X) $ 内の $ q $-Riesz 基が、$ V^p(\psi; X) $ 内の $ p $-Riesz 基を示す条件はあるか？

主な発見

• $ \psi \in W^{1,p}(\mathbb{R}^d) $ かつ $ 1 < p < \infty $ であるとき、$ \{\tau_{x_j}\psi\} $ が $ V^p(\psi; X) $ 内の $ p $-Riesz 基であれば、$ |x_j - y_j| < \delta_j $ となるような $ \delta_j > 0 $ が存在し、$ \{\tau_{y_j}\psi\} $ は $ V^p(\psi; Y) $ 内の $ p $-Riesz 基のままである。
• 安定性はインデックスごとの局所的である：$ \delta_j $ は一様に下から有界であるとは限らないが、個々の摂動が十分に小さい限り、基の性質は保たれる。
• $ p=2 $ の場合、$ \psi \in L^1 \cap L^2 $ かつ $ \sum_{k \in \mathbb{Z}^d} \inf_{x \in [0,1)^d} |\hat{\psi}(x+k)|^2 > 0 $ であれば、$ X $ にやや緩い条件を課せば、$ \{\tau_{x_j}\psi\} $ は $ V^2(\psi; X) $ 内の Riesz 基である。
• $ \|f\|_p^p \leq 2^p L J \|g\|_{p'}^p $ という境界が導出され、$ L $ が小さいと、移動関数間の差の $ L^p $-ノルムが小さくなることが示される。
• $ \psi = \beta_m $（$ m $ 次の B スプライン）であり、$ L < 2^{-p} A_p(m) $ であれば、$ \{\tau_{y_k}\beta_m\} $ は $ V^p(\psi; Y) $ 内の $ p $-Riesz 基である。
• 本稿は、$ 0 < p < 1 $ への結果の拡張が未解決問題であると示唆しており、$ L^p $-空間（$ 0 < p < 1 $）における波形理論への潜在的関係がある。