[論文レビュー] Parameterized Norm and Parameterized Fixed-Point Theorem by Using Fuzzy Soft Set Theory

Azadeh Zahedi Khameneh, Adem Kılıçman+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、パラメータ化されたファジィソフトノルムを導入し、ファジィソフトノルム空間における不動点定理を確立することで、不確実性およびファジィソフト集合におけるパラメータ化を扱うために、古典的ノルムおよび不動点理論を拡張する。ファジィソフト実数を提案し、ファジィソフトノルムを定義し、これらの空間における収縮写像の下で不動点の存在および一意性を証明する。

ABSTRACT

From last decade, when Molodtsov introduced the theory of soft set as a new approach to deal with uncertainties, until now this theory was considered sharply by a fair number of researchers. Combination of fuzzy set theory and soft set theory, called fuzzy soft set theory, by Maji et.al opened a new way for researchers whose frame work of study is soft sets and fuzzy sets. Although published papers in this area have considered both application and theoretical aspects of fuzzy soft set theory, the concept of norm for a fuzzy soft set has not been studied yet. We begin this paper by introducing fuzzy soft real numbers, which are needed for study fuzzy soft norm, and then continued by considering fuzzy soft norm. Fixed-point theorem is also investigated for fuzzy soft normed spaces.

研究の動機と目的

• ファジィソフト集合フレームワークにおけるノルムおよび不動点理論の欠如に対処し、特に曖昧でパラメータ化されたデータを扱うためのものである。
• ファジィソフト実数の概念を形式化し、ファジィソフトノルムを定義する基盤とする。
• パラメータ化された不確実性を用いて、古典的ノルムおよび不動点理論をファジィソフトノルム空間へ拡張する。
• 完備なファジィソフトノルム空間におけるファジィソフト収縮写像に対して、パラメータ化された不動点定理を確立する。
• 環境科学や経済学などの分野における、パラメータを含む現実世界の不確実性をモデル化する理論的枠組みを提供する。

提案手法

• ファジィソフト集合理論における実数の一般化として、パラメータ化に基づく算術演算を可能にするファジィソフト実数を導入する。
• パラメータ e と α-カットレベルに基づき、ファジィソフト要素間の近接度を測る関数 ||·||_e,α を用いてファジィソフトノルムを定義する。
• 古典的ノルムとファジィソフトノルムの関係を確立し、パラメータ化の下でファジィソフトノルムが古典的ノルムを一般化することを示す。
• ファジィソフト数列を導入し、ファジィソフトノルムを用いてファジィソフトコーシー列および収束列を定義する。
• バナッハ不動点定理の枠組みをファジィソフトノルム空間に適用し、収縮写像の下での反復列の収束を証明する。
• 収縮条件 ||T(x̃_E) ⊖ T(ỹ_E)||_e,α ≤ k||x̃_E ⊖ ỹ_Ẽ||_e,α （0 ≤ k < 1）を用いて、完備なファジィソフトノルム空間における不動点の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ化された不確実性の下で、ファジィソフト集合の要素間の近接度を測るノルムをどのように定義できるか？
• RQ2 ファジィソフト実数の正式な定義および代数的構造は何か？また、それらはファジィソフトフレームワークにおける算術演算をどのように支援するか？
• RQ3 ファジィソフトノルムは古典的ノルムとどのように関係し、パラメータ化の下でどのように一般化されるか？
• RQ4 古典的バナッハ不動点定理に類似した不動点定理をファジィソフトノルム空間に確立できるか？
• RQ5 完備なファジィソフトノルム空間におけるファジィソフト収縮写像に対して、不動点の存在および一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• 本稿では、ファジィソフト実数を明確に定義し、その代数的性質を確立することで、ファジィソフトフレームワークにおける算術演算を可能にした。
• パラメータ e と α-カットレベルを用いた新しいファジィソフトノルムを導入し、不確実性下でのファジィソフト要素間の距離測定を可能にした。
• ファジィソフトノルムは古典的ノルムを一般化しており、パラメータ化を除去した場合に古典的ノルムが特殊ケースとして現れる。
• ファジィソフトコーシー列および収束列を定義し、ファジィソフトバナッハ空間において、すべてのコーシー列が収束することを証明した。
• パラメータ化された不動点定理を確立した：完備なファジィソフトノルム空間上での任意のファジィソフト収縮写像は、一意な不動点を持つ。
• 不動点の同一性は、任意の二つの不動点間の距離がファジィソフトノルムのもとでゼロであることを示すことで証明され、それらが同一であることを意味する。