[論文レビュー] Parity Decision Tree Complexity and 4-Party Communication Complexity of XOR-functions Are Polynomially Equivalent

Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブール関数 $f$ のパリティ意思決定木複雑さ $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ と、対応するXOR関数 $F(x_1,\ldots,x_4) = f(x_1 \oplus \cdots \oplus x_4)$ の4人参加者通信複雑さの間で、多項式的同等性を確立する。加法的組合せ論の道具、特に Sanders の「よくある差分」に関する結果を用いて、$\mathrm{D}_{\oplus}(f) \leq \mathcal{O}(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5)$ を証明し、$k \geq 4$ の場合に両複雑さが多項式的に関連することを示した。これは、XOR関数に関する対数ランク予想への重要な一歩を解消する。

ABSTRACT

In this note, we study the relation between the parity decision tree complexity of a boolean function $f$, denoted by $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$, and the $k$-party number-in-hand multiparty communication complexity of the XOR functions $F(x_1,\ldots, x_k)= f(x_1\oplus\cdots\oplus x_k)$, denoted by $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$. It is known that $\mathrm{CC}^{(k)}(F)\leq k\cdot\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ because the players can simulate the parity decision tree that computes $f$. In this note, we show that \[\mathrm{D}_{\oplus}(f)\leq O\big(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5\big).\] Our main tool is a recent result from additive combinatorics due to Sanders. As $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ is non-decreasing as $k$ grows, the parity decision tree complexity of $f$ and the communication complexity of the corresponding $k$-argument XOR functions are polynomially equivalent whenever $k\geq 4$. Remark: After the first version of this paper was finished, we discovered that Hatami and Lovett had already discovered the same result a few years ago, without writing it up.

研究の動機と目的

• XOR関数 $F(x_1,\ldots,x_k) = f(x_1 \oplus \cdots \oplus x_k)$ について、パリティ意思決定木複雑さ $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ と $k$-参加者通信複雑さ $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ の関係を調査すること。
• $k \geq 4$ の場合に、$\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ と $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ が多項式的に同等であるかどうかを特定すること、特にXOR関数に関する対数ランク予想の文脈で。
• XOR関数の通信複雑さにおける既知の上界と、多項式同等性の予想との間のギャップを埋めること。
• フーリエスパarsityとパリティ意思決定木を通じた通信複雑さの間の定量的関係を確立すること。

提案手法

• 誘導されたXOR関数 $F(x_1,x_2,x_3,x_4) = f(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$ の4人参加者通信複雑さに基づいて定義される、下向き非増加の測度 $M(f)$ を用いる。
• 加法的組合せ論における Sanders の「よくある差分」に関する結果を応用し、大きな集合 $A_i \subseteq \mathbb{F}_2^n$ の和集合 $A_1 + A_2 + A_3 + A_4$ に含まれる大きなアフィン部分空間を見つける。
• 4人参加者プロトコルが複雑さ $c$ で存在するならば、$f$ が定数となる、codimension $\mathcal{O}(c^4)$ の部分空間が存在することを示し、$\mathrm{C}_{\oplus,\min}(f) \leq \mathcal{O}(c^4)$ を導出する。
• この結果を、フーリエスパarsityに関する既知の境界と組み合わせ、$\mathrm{D}_{\oplus}(f) \leq \mathcal{O}(M(f)^4 \cdot \log \|\hat{f}\|_0)$ を得る。さらに $M(f) \leq \mathrm{CC}^{(4)}(F)$ および $\log \|\hat{f}\|_0 \leq \mathrm{CC}^{(4)}(F)$ を用いて、主結果を導出する。
• $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ が $k$ に関して非減少であることに着目し、多項式的同等性をすべての $k \geq 4$ に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パリティ意思決定木複雑さ $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ は、対応するXOR関数の4人参加者通信複雑さ $\mathrm{CC}^{(4)}(F)$ によって多項式的に上界で抑えられるか？
• RQ2 k引数のXOR関数の通信複雑さは、$k \geq 4$ の場合に、$f$ のパリティ意思決定木複雑さを特徴づけるために使用可能か？
• RQ3 関数 $F$ に対して低複雑さの4人参加者プロトコルが存在するならば、$f$ に対して低複雑さのパリティ意思決定木が存在するか？
• RQ4 4人参加者通信複雑さは $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ の多項式的上界であるか？ もしそうならば、その多項式の次数は何か？

主な発見

• 本稿は、$\mathrm{D}_{\oplus}(f) \leq \mathcal{O}(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5)$ を証明し、4人参加者通信複雑さを用いたパリティ意思決定木複雑さの多項式的上界を確立した。
• 任意のブール関数 $f$ に対して、4人参加者通信複雑さ $\mathrm{CC}^{(4)}(F)$ とパリティ意思決定木複雑さ $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ は多項式的に同等である。
• この結果は、大きな集合の和集合に大規模なアフィン部分空間を見つけるために、加法的組合せ論における Sanders の定理の新しい応用に依拠している。
• 複雑さ測度 $M(f)$ の下向き非増加性により、$f$ を部分空間に制限してもこの境界が成立することが保証される。
• この境界は、$k \geq 4$ の場合に、XOR関数に関する対数ランク予想が、パリティ意思決定木複雑さに関する問いに同値であることを示唆している。