[論文レビュー] Partial Data for the Neumann-to-Dirichlet Map

Francis J. Chung|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$N \geq 3$ の $\mathbb{R}^N$ 内の領域において、境界の部分集合におけるノイマンデータが補集合に台を持つ場合、その境界部分集合でのノイマンからディリクレへの写像（ND写像）の部分測定値が、電磁ポテンシャルを一意に特定することを確立している。証明は、境界条件を伴うシュレーディンガー作用素に対する新規のカルレマン推定式に依拠しており、ディリクレからノイマンへの写像に関する部分データ結果をノイマン設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

We show that measurements of the Neumann-to-Dirichlet map, roughly speaking, on a certain part of the boundary of a smooth domain in dimension 3 or higher, for inputs with support restricted to the other part, determine an electric potential on that domain. Given a convexity condition on the domain, either the set on which measurements are taken, or the set on which input functions are supported, can be made to be arbitrarily small. The result is analogous to the result by Kenig, Sjöstrand, and Uhlmann for the Dirichlet-to-Neumann map. The main new ingredient in the proof is a Carleman estimate for the Schrödinger operator with appropriate boundary conditions.

研究の動機と目的

• 境界の部分測定値からノイマンからディリクレへの写像を用いて、電磁ポテンシャル $q$ を一意に特定する逆問題の解法を確立すること。
• ディリクレからノイマンへの写像に関する既知の部分データ結果を、$N \geq 3$ の次元においてノイマンからディリクレへの写像へと拡張すること。
• 強凸性の仮定の下で、測定集合または入力ノイマンデータの台を任意に小さくできることを示すこと。
• カルレマン推定式を用いた厳密な枠組みを提供し、不完全なデータを伴う境界逆問題を扱うこと。

提案手法

• 境界条件を適切に備えたシュレーディンガー作用素に対する新しいカルレマン推定式を導出し、ノイマン問題を扱う上で不可欠な基盤を提供すること。
• エイコナール方程式および輸送方程式を用いて構築された複素幾何学的オービット（CGO）解を用い、特定の漸近的挙動を示す振動解をモデル化すること。
• 解を測定値が得られる境界部分集合、または入力が台を持つ部分集合の近傍に局在化させるために、カットオフおよび摂動の議論を適用すること。
• 双対性の議論とハーン＝バナッハの定理を用いて線型汎関数を拡張し、$L^2(\Omega)$ 内でノルムが制御された解を構成すること。
• 重み関数 $\varphi$（例：$x_{n+1}$ または $\pm\log|x-p|$）によって定義される境界集合 $\partial\Omega_+$ および $\partial\Omega_-$ の構造に依拠し、解析を局所化すること。
• カルレマン推定式と不動点議論を用いて、$Z^c$ における所定のノイマンデータおよび $\Gamma$ における所定のディリクレデータを備えたシュレーディンガー方程式の解の存在を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイマンデータが補集合に台を持つ場合、境界の部分集合におけるノイマンからディリクレへの写像の測定値が、内部の電磁ポテンシャル $q$ を一意に特定できるか？
• RQ2 どのような幾何的条件下で、測定集合またはノイマンデータの台を任意に小さくしても一意性が保たれるか？
• RQ3 カルレマン推定式を $N \geq 3$ の次元におけるノイマンからディリクレへの逆問題にどのように適合できるか？
• RQ4 ディリクレからノイマンへの写像に関する結果が、部分データ設定においてノイマンからディリクレへの写像へとどの程度拡張可能か？
• RQ5 複素幾何的オービット解の構成をノイマン境界条件の枠組みに適合させることは可能か？

主な発見

• 境界の $\partial\Omega_+$ の近傍 $\Gamma$ におけるノイマンからディリクレへの写像の測定値が、$\partial\Omega_-$ の近傍 $Z$ に台を持つノイマンデータと組み合わせて与えられれば、$\Omega$ 内の電磁ポテンシャル $q$ は一意に特定される。
• 厳密に凸な領域では、$\varphi = -\log|x-p|$（$p$ が凸包の外部に位置する）を選べば、$\Gamma$ を任意に小さくしても一意性が保たれる。
• $\varphi = +\log|x-p|$ を選べば、測定値が境界の大部分で得られる限り、ノイマンデータの台 $Z$ を任意に小さくできる。
• 証明は、境界付近での解の制御を可能にする、境界条件を伴うシュレーディンガー作用素に対する新規のカルレマン推定式に依拠している。
• 重み関数 $\varphi = x_{n+1}$ または $\pm\log|x-p|$ を用いた、ノイマン設定への複素幾何的オービット解の構成が、関連するエイコナール方程式および輸送方程式を用いて適応された。
• 解は $L^2$ ノルムが $O(h)$、ノイマン境界トレースが $O(h)$ のオーダーとなり、一意性の議論に必要な漸近的制御が保証される。