[論文レビュー] Perverse sheaves on semi-abelian varieties

Yongqiang Liu, Laurenţiu Maxim+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、半アーベル多様体上の複素 perverse sheaf の完全なグローバル特徴付けを、そのコホモロジージャンプloci を用いて与える。これは、アーベル多様体上の Schnell の結果と、アフィントーラス上の Gabber-Loeser の結果を一般化する。主な貢献は、これらのloci の精査された半アーベル次元に基づく t-構造検出定理であり、複素代数的多様体における perverse sheaf 理論および双対性理論の先行研究を統合・拡張する。

ABSTRACT

We give a complete (global) characterization of complex perverse sheaves on semi-abelian varieties in terms of their cohomology jump loci. Our results generalize Schnell's work on perverse sheaves on complex abelian varieties, as well as Gabber-Loeser's results on perverse sheaves on complex affine tori. We apply our results to the study of cohomology jump loci of smooth quasi-projective varieties, to the topology of the Albanese map, and in the context of homological duality properties of complex algebraic varieties.

研究の動機と目的

• 複素アーベル多様体上の perverse sheaf の特徴付け（Schnell）およびアフィントーラス上のもの（Gabber-Loeser）を、より広いクラスの半アーベル多様体へ拡張すること。
• コホモロジージャンプloci を用いて $\mathbb{C}$- perverse sheaf の完全なグローバル記述を確立すること。ここで、loci はキャラクター多様体内の平行移動された部分トーラスである。
• この特徴付けを、滑らかで準射的多様体のコホモロジージャンプloci、アーベル写像の位相、およびホモロジカル双対性の性質を研究するために応用すること。
• 滑らかで準射的多様体のアーベル写像が半小であるための必要十分条件として、多様体が次元 $n$ のアーベル双対性空間であること（適切な正規性のもとで）を示すこと。

提案手法

• Mellin 変換とコホモロジージャンプloci の既約成分の線形構造を用いて、精査された半アーベル次元を定義する。
• 可 constructible 複体のコホモロジージャンプloci に対して、半アーベル次元 $\operatorname{codim}_{sa}$ とアーベル次元 $\operatorname{codim}_{a}$ の概念を導入する。
• 分解定理と相対的ハード・リーマンの定理を用いて、アーベル写像における局所系統の押し出しを分析する。
• $R\operatorname{alb}_*L[n]$ が perverse であるための必要十分条件として、コホモロジージャンプloci が特定の次元条件を満たすことであることを証明する。
• アーベル写像の普遍性を用いて埋め込みを因数分解し、多様体がアーベル双対性空間であるとき、アーベル写像が半小であることを導く。
• 予想の逆を提示する：滑らかで準射的多様体がアーベル写像をもつとき、その写像が半小であり、かつ多様体が $n$ 次元の CW 複体とホモトピー同値であるならば、その多様体は次元 $n$ のアーベル双対性空間である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半アーベル多様体上の $\mathbb{C}$- perverse sheaf は、コホモロジージャンプloci を用いてどのようにグローバルに特徴付けられるか？
• RQ2 コホモロジージャンプloci の次元と、半アーベル多様体 $G$ における $D^b_c(G,\mathbb{C})$ 上の perverse t-構造との間の正確な関係は何か？
• RQ3 滑らかで準射的多様体のアーベル写像が半小であるための条件は何か？ そして、その条件は双対性の性質とどのように関係するか？
• RQ4 半アーベル多様体上の perverse sheaf の特徴付けは、アレクサンダー型不変量の有限性性質を検出するために利用できるか？
• RQ5 アーベル写像の半小性は、滑らかで準射的多様体がアーベル双対性空間であるための十分条件か？

主な発見

• 本稿は、半アーベル多様体 $G$ 上の $\mathbb{C}$- perverse sheaf の完全な特徴付けを、それらのコホモロジージャンプloci の（半）アーベル次元に基づいて確立する。
• コホモロジージャンプloci ${\mathcal{V}}^i(G,\mathcal{F})$ は、$\operatorname{Char}(G) \cong (\mathbb{C}^*)^{m+2g}$ 内の平行移動された部分トーラスの有限個の和集合であり、それらの次元は $\mathcal{F}$ の perverse t-構造における位置を決定する。
• アーベル写像 $\operatorname{alb}: X \to \operatorname{Alb}(X)$ が正規かつ半小であるならば、$X$ は次元 $n$ のアーベル双対性空間である。これは、アフィン多様体に対する既知の結果を一般化する。
• $R\operatorname{alb}_*\mathbb{C}_X[n]$ が perverse であるための必要十分条件は、$X$ のコホモロジージャンプloci がすべての $i$ に対して $\operatorname{codim}_{sa} {\mathcal{V}}^i(X,\mathbb{C}_X) \geq i$ を満たすことである。
• 例は、多様体がアフィンでなくてもアーベル双対性空間である可能性があることを示している。例えば、$({\mathbb{C}}^*)^2$ の一点でのブ lows up は、アフィンではないが 2 次元のアーベル双対性空間である。
• 滑らかで準射的多様体が正規なアーベル写像をもつとき、その写像が半小であり、かつ多様体が有限の $n$ 次元 CW 複体とホモトピー同値であるならば、その多様体は次元 $n$ のアーベル双対性空間であるという予想を提示する。