[論文レビュー] Phase Retrieval Meets Statistical Learning Theory: A Flexible Convex Relaxation

Sohail Bahmani, Justin Romberg|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 6被引用数 55

ひとこと要約

この論文は、信号の自然な定義域で直接作業することで、半定値計画法の計算的負担を回避する、柔軟な凸緩和法を提案する。問題を対称的なスラブを表す不等式制約を有する凸計画問題として定式化し、解をガイドするアンカーベクトルを用いることで、ランダム測定下で最適なサンプル複雑度を達成する。統計的学習理論とシミュレーションにより検証された。

ABSTRACT

We propose a flexible convex relaxation for the phase retrieval problem that operates in the natural domain of the signal. Therefore, we avoid the prohibitive computational cost associated with "lifting" and semidefinite programming (SDP) in methods such as PhaseLift and compete with recently developed non-convex techniques for phase retrieval. We relax the quadratic equations for phaseless measurements to inequality constraints each of which representing a symmetric "slab". Through a simple convex program, our proposed estimator finds an extreme point of the intersection of these slabs that is best aligned with a given anchor vector. We characterize geometric conditions that certify success of the proposed estimator. Furthermore, using classic results in statistical learning theory, we show that for random measurements the geometric certificates hold with high probability at an optimal sample complexity. Phase transition of our estimator is evaluated through simulations. Our numerical experiments also suggest that the proposed method can solve phase retrieval problems with coded diffraction measurements as well.

研究の動機と目的

• PhaseLift などの半定値計画法に基づく位相再構成手法のスケーラビリティの制限を解決する。
• 信号の定義域で直接作業する凸緩和法を構築し、高次元空間へのリフトを回避する。
• 統計的学習理論を用いて、ランダム測定下での高確率再構成保証を確立する。
• 幾何的かつ計算的に効率的な推定器を提供し、位相再構成における最適なサンプル複雑度を達成する。
• 数値実験を通じて、コード化された回折測定への適用可能性を示す。

提案手法

• 2次元の位相なし測定値を、複素信号空間内に定義される対称的なスラブを表す不等式制約に緩和する。
• 与えられたアンカーベクトルとの内積を最大化する凸最適化問題を定式化し、スラブ制約を満たす。
• アンカーベクトルを用いて、真の信号との相関がゼロでないよう解をガイドする。
• 統計的学習理論の結果——特にVC次元とラデマッハ複雑度——を適用し、高確率再構成保証を導出する。
• 真の信号がグローバル位相を除き正確に再構成されるための幾何的条件を特定する。
• 高い確率で、測定数が $ M riangleq ilde{ heta}(N + rac{1}{ heta}) $ を満たす場合、幾何的条件が成立することが示される。ここで $ heta $ はアンカーの相関強度に関連する定数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半定値計画法の計算コストを回避しつつ理論的保証を維持できるような、位相再構成のための凸緩和法を設計できるか？
• RQ2 凸推定器が真の信号をグローバル位相を除き再構成するための幾何的条件は何か？
• RQ3 統計的学習理論のツールを用いて、ランダム測定下で最適なサンプル複雑度を達成できるか？
• RQ4 この推定器は、実用的な位相再構成設定におけるコード化された回折パターンに対応できるか？
• RQ5 アンカーベクトルは、再構成性能および解の幾何的認証にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 提案された凸推定器は、測定数が $ M riangleq ilde{ heta}(N + rac{1}{ heta}) $ を満たす場合、真の信号を高い確率で正確に再構成する。ここで $ heta $ はアンカーと信号との相関強度に関連する定数である。
• 成功した再構成のための幾何的条件は、すべての $ m{a}_i m{a}_i^* m{x}_ ext{star} $ を含む特定の制約付き半空間が存在しないことと同値であり、ランダム測定下で高い確率で成立することが示された。
• この方法は最適なサンプル複雑度を達成し、ガウス測定下での位相再構成における既知の情報理論的限界と一致する。
• 数値シミュレーションにより、コード化された回折パターンに対しても推定器が良好に動作することが確認され、実用的ロバストネスを示唆している。
• 理論的分析は、VC次元とラデマッハ複雑度を含む統計的学習理論の古典的結果に依拠し、推定器の一般化誤差をバインドする。
• この方法はスケーラブルで計算的に効率的であり、PhaseLift などのSDPベースの手法とは異なり、$ bC^N $ 領域で直接作業する。