[論文レビュー] Phase-type fitting of scale functions for spectrally negative Levy processes

Masahiko Egami, Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|May 1, 2010

Probability and Risk Models参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般のスプライタルに負のレヴィ過程におけるスケール関数および関連するフラクチュエーション恒等式を近似するためのフェーズ型（PH）フィッティング手法を提案する。PHレヴィ過程におけるスケール関数の解析的取り扱いのしやすさ—ラプラス指数が有理関数であることに起因—を活用することで、部分分数分解を用いた閉形式表現が可能となり、均一分布や対数正規分布のジャンプを含む複雑な分布ですら、中程度のフェーズ数で非常に高い精度の近似が得られる。

ABSTRACT

We study the scale function of the spectrally negative phase-type Levy process. Its scale function admits an analytical expression and so do a number of its fluctuation identities. Motivated by the fact that the class of phase-type distributions is dense in the class of all positive-valued distributions, we propose a new approach to approximating the scale function and the associated fluctuation identities for a general spectrally negative Levy process. Numerical examples are provided to illustrate the effectiveness of the approximation method.

研究の動機と目的

• 一般のスプライタルに負のレヴィ過程のスケール関数は通常、ラプラス変換を介してのみ知られており、数値的逆変換を要するという課題に対処すること。
• 標準的な数値的ラプラス逆変換における二重の誤差要因（ラプラス指数の近似誤差と逆変換誤差）を、解析的に取り扱いやすいスケール関数を有するPHフィッティングにより克服すること。
• フェーズ型分布の稠密性のおかげで、適切な条件下では任意のスプライタルに負のレヴィ過程のスケール関数を高精度に近似可能であることを示すこと。
• リゾルベント測度の積分を含むフラクチュエーション恒等式の解析的計算を可能にする、実用的で閉形式の近似手法を提供すること。
• 特に均一分布ジャンプのような困難なケースを想定し、PHフィッティングにEMアルゴリズムを用いる数値実験を通じて、本手法の精度と効率を評価すること。

提案手法

• 一般のスプライタルに負のレヴィ過程のレヴィ測度をフェーズ型分布で近似することで、有理ラプラス指数を有するスプライタルに負のPHレヴィ過程を構築する。
• ラプラス指数の有理構造のおかげで、ラプラス逆変換後に部分分数分解を適用することにより、PHレヴィ過程のスケール関数を閉形式で計算可能となる。
• PHフィッティングプロセスは、EMアルゴリズムを用いて、ターゲットレヴィ測度のモーメントまたは密度を一致させることで、適切なフェーズ型近似への収束を保証する。
• 中程度のフェーズ数（m=3からm=9）を選択することで近似誤差を最小化し、正値分布におけるPH分布の稠密性に依存する。
• 数値的ラプラス逆変換誤差を回避するため、PH分布の明示的ラプラス変換を用いることで、総誤差はフィッティング誤差のみに還元される。
• PH近似から得られる解析的フラクチュエーション恒等式（例えば、スケール関数、最初の通過確率）をモンテカルロシミュレーション結果と比較することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェーズ型分布の正値分布上での稠密性を考慮すると、一般のスプライタルに負のレヴィ過程のスケール関数は、フェーズ型分布を用いて高精度に近似可能であるか？
• RQ2 スケール関数およびフラクチュエーション恒等式の計算において、標準的な数値的ラプラス逆変換と比較して、PHフィッティング手法は精度と誤差要因の両面で優れているか？
• RQ3 均一分布や対数正規分布のような、フィッティングが難しいジャンプ分布に対し、PHフィッティング手法の性能はいかがなものか？
• RQ4 PHベースのスケール関数の閉形式構造により、リゾルベント測度やオーバーシュートを含む複雑な恒等式の解析的計算はどの程度可能になるか？
• RQ5 特にスケール関数が明示的に与えられていない過程に対し、m=3などの少数のフェーズでも、本手法は高い精度を維持できるか？

主な発見

• σ=1、λ=10の正規分布およびワイブル分布ジャンプに対して、m=9フェーズを用いたPHフィッティング手法は、スケール関数Φ(q)において相対誤差0.05%未満を達成した。
• m=9フェーズを用いた対数正規分布ジャンプのスケール関数近似では、Φ(q)=1.2194（通常型）および1.2194（Coxian型）が得られ、シミュレーション結果とよく一致した。
• 均一分布ジャンプに対しては、m=9フェーズを用いた場合、Φ(q)=1.0386を達成し、有界分布のフィッティングが難しいという課題にもかかわらず高い精度を示した。
• m=3フェーズのみでも、均一分布ケースではΦ(q)=1.0678を達成し、計算コストを最小限に抑えつつも妥当な精度を示した。
• 複雑なフラクチュエーション恒等式の近似においても本手法は頑健であり、スケール関数分解における複素共役根を含む場合でも、通常型とCoxian型の両表現でξi,qの数値が高精度で一致した。
• EMアルゴリズムを用いたPHフィッティングは、全テスト対象分布においてレヴィ測度を良好に近似でき、モンテカルロシミュレーションとの比較においてスケール関数値に最小限の乖離を示した。