[論文レビュー] Piecewise polynomial interpolation in Muckenhoupt weighted Sobolev spaces and applications

Ricardo H. Nochetto, Enrique Otárola+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の多項式次数について、Muckenhoupt重み付きSobolev空間における構成的区分的多項式近似理論を展開する。重み付きPoincaré不等式、キャンセレーション性質、および帰納法を活用し、最適な誤差推定を得る。単体的および長方形メッシュ上に準補間作用素を構築し、最適な非等方的誤差境界を実現するとともに、非一様楕円型問題、特異源、楕円型作用素の分数力への応用が可能となり、グレーデッドメッシュ上での準最適収束率を達成する。

ABSTRACT

We develop a constructive piecewise polynomial approximation theory in weighted Sobolev spaces with Muckenhoupt weights for any polynomial degree. The main ingredients to derive optimal error estimates for an averaged Taylor polynomial are a suitable weighted Poincare inequality, a cancellation property and a simple induction argument. We also construct a quasi-interpolation operator, built on local averages over stars, which is well defined for functions in $L^1$. We derive optimal error estimates for any polynomial degree on simplicial shape regular meshes. On rectangular meshes, these estimates are valid under the condition that neighboring elements have comparable size, which yields optimal anisotropic error estimates over $n$-rectangular domains. The interpolation theory extends to cases when the error and function regularity require different weights. We conclude with three applications: nonuniform elliptic boundary value problems, elliptic problems with singular sources, and fractional powers of elliptic operators.

研究の動機と目的

• 任意の多項式次数について、Muckenhoupt重み付きSobolev空間における区分的多項式補間の強固な近似理論を確立すること。
• 特に非一様楕円型問題に対して、Muckenhoupt重み付きSobolev空間における体系的な多項式近似ツールの欠如に応えること。
• 星型領域上の局所平均に基づく準補間作用素を構築し、$L^1$関数に対して定義可能であり、安定性と最適収束性を保証すること。
• 関数と誤差の正則性に異なる重みが必要となる場合にも理論を拡張し、特異的・退化的PDEへの応用性を高めること。
• 非一様楕円型境界値問題、特異源付き楕円型方程式、楕円型作用素の分数力という3つの主要な問題への応用。

提案手法

• Muckenhoupt $A_p$ 重みに適合した重み付きPoincaré不等式を用い、重み付きノルムにおける関数の変動を制御する。
• 平均化されたテイラー多項式の構成におけるキャンセレーション性質を活用し、近似精度を向上させる。
• メッシュの細分化レベルに関する帰納法を適用し、多項式次数 $k \geq 0$ に対して最適な誤差推定を導出する。
• 星型近傍における局所平均による準補間作用素を構築し、$L^1$ で安定かつ重み付きSobolevノルムで最適近似を達成する。
• 隣接要素のサイズが同程度である条件の下で、長方形メッシュ上における非等方的誤差推定を導出する。これにより、非等方的問題に対する最適収束が可能になる。
• 分数ラプラシアンの拡張問題に理論を適用し、拡張変数におけるグレーデッドメッシュを用い、直交座標構造を活かして非等方的誤差制御を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多項式次数について、Muckenhoupt重み付きSobolev空間における最適な区分的多項式近似誤差推定を導出可能か？
• RQ2 $L^1$関数に対して定義可能であり、単体的および長方形メッシュ上で最適収束を達成する準補間作用素はどのように構築可能か？
• RQ3 メッシュ幾何（例：形状正則性、サイズ比較）にどのような条件が課されると、重み付きSobolev空間における最適な非等方的誤差推定が得られるか？
• RQ4 関数の正則性と誤差の正則性に異なる重みが必要となる場合にも、近似理論を拡張可能か？
• RQ5 この補間フレームワークを用いた非一様楕円型問題および分数楕円型作用素のガラーキン有限要素近似の最適収束率は何か？

主な発見

• 重み付きPoincaré不等式、キャンセレーション、帰納法を用い、Muckenhoupt重み付きSobolev空間における区分的多項式補間の最適誤差推定を導出する。
• $L^1$関数に対して定義可能であり、形状正則な単体的メッシュ上で最適収束を達成する準補間作用素を構築する。
• 長方形メッシュ上では、隣接要素のサイズが同程度である条件の下で、最適な非等方的誤差推定が得られ、非等方的問題に対する最適収束が可能になる。
• 関数と誤差の正則性に異なる重みが必要となる場合にも理論を拡張でき、特異的・退化的PDEへの応用性が拡大する。
• 分数ラプラシアンの調和拡張を用いた場合、拡張次元におけるグレーデッドメッシュを用いることで、$O((\#\mathscr{T}_{\mathpzc{Y}})^{-1/(n+1)})$ の準最適収束率が得られ、対数項を含む。
• 分数力問題の解の誤差推定は $\|u - U_{\mathscr{T}}(\cdot,0)\|_{\mathbb{H}^{s}(\Omega)} \lesssim |\log(\#\mathscr{T}_{\mathpzc{Y}})|^s (\#\mathscr{T}_{\mathpzc{Y}})^{-1/(n+1)} \|f\|_{\mathbb{H}^{1-s}(\Omega)}$ であり、正則性および収束順序の両面で準最適性が確認される。