[論文レビュー] Piecewise principal comodule algebras

Piotr M. Hajac, Ulrich Kraehmer+2 more|ArXiv.org|Jul 9, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、双代数の余代数的代数が双射的反対写像を持つホプフ代数上に作用するとき、その主性が局所的性質であることを確立している。すなわち、余代数的代数は、核が互いに自明に交わる有限族の全射によるすべての商が主であるときかつそのときに限り主である。主な貢献は、有限位相空間上のフラッピー層を用いた、このような代数の層論的特徴付けであり、非可換幾何における局所的に自明な主バンドルの一般化である。

ABSTRACT

A comodule algebra P over a Hopf algebra H with bijective antipode is called principal if the coaction of H is Galois and P is H-equivariantly projective (faithfully flat) over the coaction-invariant subalgebra B. We prove that principality is a piecewise property: given N comodule-algebra surjections P->Pi whose kernels intersect to zero, P is principal if and only if all Pi's are principal. Furthermore, assuming the principality of P, we show that the lattice these kernels generate is distributive if and only if so is the lattice obtained by intersection with B. Finally, assuming the above distributivity property, we obtain a flabby sheaf of principal comodule algebras over a certain space that is universal for all such N-families of surjections P->Pi and such that the comodule algebra of global sections is P.

研究の動機と目的

• 核が互いに自明に交わる有限族の全射を用いて、余代数的代数の局所性の概念を定義・分析すること。
• 主性—非可換幾何における主バンドルの類似—が局所的性質であることを確立すること：P が主であるとは、すべての P_i が主であるときかつそのときに限りそうなる。
• 核によって生成されるイデアルの格子と分配的ラティス構造、および有限位相空間上のフラッピー層との関係を結ぶこと。
• スモッシュ積とファイバー積を用いて、局所的に自明な主バンドルの概念を非可換設定に一般化すること。
• （N−1）次元の Z/2Z 上の射影空間を用いて、局所的に自明な余代数的代数の層論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 核の共通部分が 0 であるような余代数的代数の全射 P → P_i を用いて、P を「部分」で被覆する。
• ホプフ＝ガロア拡大と同変射影性の理論を適用して主性を定義する：P が主であるとは、コアクションがガロア的であり、かつ P が P^{coH} 上で射影的であること。
• このような被覆を通じて主性が保存されることを証明する：P が主であるとは、すべての P_i が主であるときかつそのときに限りそうなる。
• イデアルの格子が分配的である条件を満たす、より強い被覆条件を導入する。
• P^{N−1}(Z/2) 上の有限位相空間に、余代数的代数のフラッピー層を構成する。その全体切断は P を回復する。
• 分配的ラティスの中国剰余定理を用いて、環における N 個のイデアルによって生成される分配的ラティスと、P^{N−1}(Z/2) 上のフラッピー層の代数の間の同値関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核が互いに自明に交わる有限族の全射によって定義される被覆において、余代数的代数の主性は保存されるか？
• RQ2 このような全射の核によって生成されるイデアルの格子が分配的ラティスをなすための条件は何か？
• RQ3 核のイデアルの格子が分配的であるとき、そのような N 個の全射族を分類する有限位相空間上にフラッピー層の余代数的代数を構成できるか？
• RQ4 層論的枠組みは、非可換幾何における古典的な局所的に自明な主バンドルの概念とどのように関係するか？
• RQ5 （N−1）次元の Z/2Z 上の射影空間は、余代数的代数の N 重被覆の組合せ論をどのように符号化するか？

主な発見

• 余代数的代数 P が主であることは、核が互いに自明に交わる有限族の全射によるすべての商 P_i が主であることと同値である。
• このような全射の核によって生成されるイデアルの格子が分配的であることと、それらの P^{coH} との交わりの格子が分配的であることとは同値である。
• P^{N−1}(Z/2) 上に、すべての主な余代数的代数の普遍的なフラッピー層が存在し、その全体切断は P と同型である。
• 環における N 個のイデアルによって生成される分配的ラティスの圏は、P^{N−1}(Z/2) 上のフラッピー層の代数の圏と同値である。
• この構成は、スモッシュ積を用いて構築された局所的に自明な余代数的代数を通じて、非可換幾何における局所的に自明な主バンドルを一般化する。
• 構築された局所的に自明な余代数的代数 P の不変部分代数 P^{coH} は、作用の選び方によって、ミラーまたは一般的ポドレシュ量子2次元球面の C*-代数と同型である。