[論文レビュー] Polynomial Degree and Lower Bounds in Quantum Complexity: Collision and Element Distinctness with Small Range

Andris Ambainis|ArXiv.org|May 29, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、任意の対称ブール関数 $ f: \{1,\ldots,N\} \to \{1,\ldots,M\} $ の多項式次数が、すべての $ M \geq N $ に対して不変であることを確立し、大規模な $ M $ に対して多項式法によって示された量子クエリ下界を、小範囲ケース $ M = N $ にまで移転可能にする。主な結果として、衝突問題と要素一意性問題に対して、それぞれ $ \Omega(N^{1/3}) $ および $ \Omega(N^{2/3}) $ の量子クエリ下界を、範囲サイズが $ N $ にまで小さくても成立することを示し、この領域における量子アルゴリズムの最適性に関する未解決の問いを解消する。

ABSTRACT

We give a general method for proving quantum lower bounds for problems with small range. Namely, we show that, for any symmetric problem defined on functions $f:\{1, ..., N\} o\{1, ..., M\}$, its polynomial degree is the same for all $M\geq N$. Therefore, if we have a quantum lower bound for some (possibly, quite large) range $M$ which is shown using polynomials method, we immediately get the same lower bound for all ranges $M\geq N$. In particular, we get $Ω(N^{1/3})$ and $Ω(N^{2/3})$ quantum lower bounds for collision and element distinctness with small range.

研究の動機と目的

• 衝突および要素一意性問題の多項式法による量子クエリ下界が、大範囲から小範囲（$ M = N $）にまで拡張可能かどうかを解明すること。
• 任意の対称的性質 $ \phi $ について、関数 $ f: [N] \to [M] $ における多項式次数が、$ M \geq N $ であれば $ M $ に依存しない一般原理を確立すること。
• 既存の多項式法による量子下界を、大 $ M $ から小 $ M $（特に $ M = N $）にまで移転可能にする。
• 2段階のAND-OR木の既知の下界を強化し、その多項式次数が $ \Omega(N^{2/3}) $ であることを示すこと。

提案手法

• 変数 $ z_1, \ldots, z_M $ を用いた、対称関数 $ f: [N] \to [M] $ の多項式の新しい表現を導入。ここで $ z_i $ は値 $ i $ にマッピングされる入力の数を表す。
• 対称関数の構造が範囲サイズの変更に対しても次数不変性を保つことから、すべての $ M \geq N $ に対して対称的性質 $ \phi $ の多項式次数が同一であることを証明。
• 既知の $ M $ が大きい場合の下界への還元により、多項式法を適用し、$ M = N $ であっても要素一意性関数の次数が $ \Omega(N^{2/3}) $ であることを示す。
• Beals らおよび Aaronson の結果に基づき、多項式次数と量子クエリ複雑度の同等性を用いて、次数下界を量子クエリ下界に変換。
• 要素一意性問題から2段階AND-OR木への写像を構築し、前者の次数下界が後者の $ \Omega(N^{2/3}) $ の次数下界を示すことにつながることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 範囲サイズ $ M $ が $ N $ に等しい場合、衝突問題の $ \Omega(N^{1/3}) $ 量子下界は依然として成立するか？
• RQ2 要素一意性問題の $ \Omega(N^{2/3}) $ 量子下界が、$ M $ が大規模な場合に成立するのと同じく、$ M = N $ の場合にも拡張可能か？
• RQ3 対称関数 $ \phi $ が $ f: [N] \to [M] $ に対して定義されるとき、$ M \geq N $ であれば、$ M $ の変更に依存しない多項式次数を有するか？
• RQ4 2段階AND-OR木関数（$ N^2 $ 変数）の多項式次数は何か？かつ、従来の $ \Omega(\sqrt{N \log N}) $ の下界を上回るか？

主な発見

• 任意の対称的性質 $ \phi $ について、関数 $ f: [N] \to [M] $ における多項式次数は、すべての $ M \geq N $ に対して同一であり、範囲サイズ間での下界の移転を可能にする。
• 衝突問題は、$ M = N $ であっても $ \Omega(N^{1/3}) $ の量子クエリを必要とし、小範囲領域における量子アルゴリズムの最適性に関する長年の未解決問いを解消する。
• 要素一意性問題は、$ M = N $ であっても $ \Omega(N^{2/3}) $ の量子クエリを必要とし、最良の既知の量子アルゴリズムと一致し、この設定における最適性を確認する。
• 2段階AND-OR木（$ N^2 $ 変数）の多項式次数は $ \Omega(N^{2/3}) $ であり、従来の $ \Omega(\sqrt{N \log N}) $ の下界を上回る。
• 多項式法による量子下界の適用範囲を一般化し、$ M $ が大きい場合に得られた既知の下界を、$ M = N $ に対しても即座に適用可能にする。