[論文レビュー] Polynomial Maps of Modules

Qimh Richey Xantcha|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Rings, Modules, and Algebras参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Eilenberg および Mac Lane の多項式写像を一般の環上の加群へ自然に拡張するための数値的写像（numerical maps）を導入する。この定式化には、二項係数に関して閉じた（すなわち二項的である）ベース環が必要である。本稿では、次数 $ n $ の数値的写像が、二項代数の圏上で関手 $ M  \bigotimes_{\textbf{B}} - \to N \bigotimes_{\textbf{B}} - $ の自然変換として一意に拡張可能であることを確立し、Eilenberg-Mac Lane の弱多項式写像と Roby の厳密多項式写像の両概念を統一する。

ABSTRACT

The article focuses on three different notions of polynomiality for maps of modules. In addition to the polynomial maps studied by Eilenberg and Mac Lane and the strict polynomial maps ("lois polynomes") considered by Roby, we introduce numerical maps and investigate their properties. Even though our notion require the existence of binomial co-efficients in the base ring, we argue that it constitutes the correct way to extend Eilenberg and Mac Lane's polynomial maps of abelian groups to incorporate modules over more general rings. The main theorem propounds that our maps admit a description corresponding, word by word, to Roby's definition of strict polynomial maps.

研究の動機と目的

• Eilenberg および Mac Lane の多項式写像が一般の環上でのスカラー乗法を適切に扱えないという欠陥を是正すること。
• 加法とスカラー乗法の両方を自然に反映する加群写像の多項式性の概念を定義すること。
• 任意の環上の加群への多項式写像の正しい一般化として、数値的写像を提示すること。
• 二項代数に基づく共通の枠組みを通じて、Eilenberg-Mac Lane の弱多項式写像と Roby の厳密多項式写像を統一すること。

提案手法

• $(n+1)$-項のずれの消失とスカラー倍に対する二項係数の公式という2条件により、数値的写像を定義する。
• 写像の $(n+1)$-項ずれを表す記号 $ x_1 \diamond \cdots \diamond x_{n+1} $ を導入し、差分作用素の一般化とする。
• 要素 $ x $ の $ k $ 回自己ずれを表す記号 $ \lozenge_k x $ を導入し、再帰的な多項式構造を可能にする。
• 自由二項代数を用いた、各次数の数値的写像の普遍的構成を確立する。
• 数値的写像が、二項代数の圏上の関手 $ M \bigotimes_{\textbf{B}} - \to N \bigotimes_{\textbf{B}} - $ の自然変換とちょうど一致することを証明する。
• 多項式性の原理と自然性を用いて、数値的写像を二項代数へ拡張したものが、ベース環上の値によって一意に定まることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Eilenberg および Mac Lane の多項式写像の概念を、$ \mathbb{Z} $ でない一般の環上への加群へ自然に拡張できるか。特にスカラー乗法を組み込むには？
• RQ2 加群写像の多項式性を定義するための、加法とスカラー乗法の両方を満たす条件として必要な、ベース環の条件は何か？
• RQ3 新しい数値的写像の概念と Roby の厳密多項式写像の関係は何か。それらは統一可能か？
• RQ4 数値的写像は自然変換としてのカテゴリカルな特徴づけを持つだろうか。その場合、どの代数の圏上で？
• RQ5 次数 $ n $ の数値的写像は、係数がベース環にある有限結合 $ a_1 u_1 + \cdots + a_k u_k $ における値から一意に再構成可能か？

主な発見

• 加群写像 $ \varphi: M \to N $ が次数 $ n $ の数値的写像であるための必要十分条件は、$(n+1)$-項ずれの消失とスカラー倍に対する二項係数の公式の両方を満たすことである。
• $ \varphi $ は任意の二項代数 $ A $ に対して、一意に自然変換 $ \varphi_A: M \bigotimes_{\textbf{B}} A \to N \bigotimes_{\textbf{B}} A $ へ拡張可能であり、これは $ \mathfrak{BAlg} $-多項式写像（次数 $ n $）である。
• 線形結合 $ a_1 u_1 + \cdots + a_k u_k $ における $ \varphi $ の値は、$ \sum m_i \leq n $ を満たす多重指数 $ (m_1, \dots, m_k) $ に関する和として与えられ、二項係数 $ \binom{a_i}{m_i} $ と $ u_i $ の $ m_i $ 回自己ずれの像を含む。
• 展開における係数 $ v_{(m_1,\dots,m_k)} $ は一意に定まり、$ \varphi(\lozenge_{m_1} u_1 \diamond \cdots \diamond \lozenge_{m_k} u_k) $ に等しい。これにより一貫性が保証される。
• 二項代数への拡張は、定義が良くされており、自然である。これは、定理4（二項多項式の消失）を用いてテンソル関係の整合性を検証することで示される。
• 本構成により完全な統一が達成される：数値的写像と $ \mathfrak{BAlg} $-多項式写像は同値な概念であり、後者は前者のカテゴリカルな実現である。