[論文レビュー] Potential of quantum finite automata with exact acceptance

Jozef Gruska, Daowen Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、正確な量子有限オートマトン（QFA）が、特定のプロミス問題を定数状態複雑性で解けることを示している。これは、3つの量子基底状態のみを用いるが、古典的決定的有限オートマトン（DFA）は問題パラメータに比例して状態数が線形に増加する。主な結果として、高対称性や構造的特徴のない入力に対しても、正確な量子計算において指数的状態短縮が可能であることが示され、このような利点が特殊な問題構造を要するという従来の信念に挑戦する。

ABSTRACT

The potential of the exact quantum information processing is an interesting, important and intriguing issue. For examples, it has been believed that quantum tools can provide significant, that is larger than polynomial, advantages in the case of exact quantum computation only, or mainly, for problems with very special structures. We will show that this is not the case. In this paper the potential of quantum finite automata producing outcomes not only with a (high) probability, but with certainty (so called exactly) is explored in the context of their uses for solving promise problems and with respect to the size of automata. It is shown that for solving particular classes $\{A^n\}_{n=1}^{\infty}$ of promise problems, even those without some very special structure, that succinctness of the exact quantum finite automata under consideration, with respect to the number of (basis) states, can be very small (and constant) though it grows proportional to $n$ in the case deterministic finite automata (DFAs) of the same power are used. This is here demonstrated also for the case that the component languages of the promise problems solvable by DFAs are non-regular. The method used can be applied in finding more exact quantum finite automata or quantum algorithms for other promise problems.

研究の動機と目的

• 正確な量子有限オートマトン（QFA）が、高対称性や構造的特徴のない入力パラメータを持つプロミス問題において顕著な状態短縮を達成できるかを調査すること。
• 正確な計算における指数的量子高速化が、非常に特別な構造的性質を持つ問題に限定されるという一般的な信念に挑戦すること。
• N と l（0 < l < N）のような、互いに強く関連しないパラメータを持つプロミス問題に対しても、正確なQFAが古典的DFAに比べて指数的に短い状態数で解けることを示すこと。
• 従来の構造的パラメータ（例：N = 2^{k+1}, l = 2^k）を持つプロミス問題に関する結果を、任意の固定正整数 N と l に一般化すること。
• 最小の量子基底状態数を持つ正確なMOQFAの構築法を提示し、同じプロミス問題を解くために必要な最小DFAサイズを同定すること。

提案手法

• 本稿は、固定された N と l（0 < l < N）に対して、A^{N,l} = (A_{yes}^{N,l}, A_{no}^{N,l}) というユニタリプロミス問題を定義する。ここで、A_{yes}^{N,l} = {a^{iN} | i ≥ 0} および A_{no}^{N,l} = {a^{iN+l} | i ≥ 0} である。
• 正確な受容を保証する3つの量子基底状態を有する測定1回型一方向量子有限オートマトン（MOQFA）を構築する。
• 量子干渉と位相操作を用い、3次元実ヒルベルト空間内で、周期性とオフセット情報を量子振幅に符号化することで、a^{iN} と a^{iN+l} の入力を区別する。
• 古典的比較のため、同じプロミス問題を解くために必要な最小DFAサイズを導出する。そのサイズは、N を割り切るが l を割り切らない最小の整数 d に等しいことを証明する。
• DFAのサイクル構造に基づく背理法を用いて証明する。より小さいDFAを仮定すると、周期的状態遷移のため、入力の受容／拒否が誤って行われることを示す。
• 二進アルファベットのプロミス問題へ一般化し、この手法が他のプロミス問題へも拡張可能であることを示し、正確な量子アルゴリズムへの広範な適用可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な量子有限オートマトンは、高対称性や構造的特徴のない入力パラメータを持つプロミス問題に対し、指数的状態短縮を達成できるか？
• RQ2 正確な量子計算における指数的優位性は、N と N/2 のような特定の構造的関係を持つ 'yes' と 'no' 入力パラメータの問題に限定されるか？
• RQ3 3状態のMOQFAは、N = 2^{k+1}, l = 2^k の場合に限らず、より広いクラスのユニタリプロミス問題を解けるか？
• RQ4 同じプロミス問題を解くために必要な最小古典状態数は何か？（3状態の正確なMOQFAで解ける問題に対して）
• RQ5 提案手法は、非正則な成分言語を有する他のプロミス問題に対しても、正確な量子アルゴリズムを構築するために一般化可能か？

主な発見

• 任意の固定正整数 N と l（0 < l < N）に対して、プロミス問題 A^{N,l} は、正確な測定1回型一方向量子有限オートマトン（MOQFA）を用いて、3つの量子基底状態のみで正確に解ける。
• 同じプロミス問題を解く最小の決定的有限オートマトン（DFA）には、少なくとも d 個の状態が必要であり、ここで d は N を割り切るが l を割り切らない最小の整数である。
• N が素数の場合、最小DFAは正確に N 個の状態を要し、DFAサイズが N に対して線形に増加する一方、量子オートマトンは常に3状態のまま維持される。
• 従来の結果（N = 2^{k+1}, l = 2^k の場合に限る）を一般化し、N と l が任意の固定正整数で 0 < l < N を満たす場合でも、正確なQFAの指数的状態短縮が成立することを証明した。
• 3状態MOQFAを構築する手法は一般化可能であり、他のプロミス問題、特に二進アルファベットの場合の問題に対しても適用可能である。
• 結果から、高対称性や構造的特徴のない 'yes' と 'no' 入力集合を持つ問題に対しても、状態複雑度における指数的量子高速化が可能であることが示され、このような利点が特殊な問題構造を要するという仮説に反する。