[論文レビュー] Power law violation of the area law in quantum spin chains

Ramis Movassagh, Peter W. Shor|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

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ひとこと要約

この論文は、整数スピン-$s$鎖に対して、面積則をべき則で破る、正確に解ける、並進不変で局所的なハミルトニアンのクラスを導入する。半鎖の量子もつれエントロピーは $\sqrt{n}$ のスケーリングを示す。モデルはフラストレーションフリーであり、一意な基底状態を持ち、エネルギーギャップは $n^{-c}$ とスケーリングし、$c \geq 2$ であるため、相対論的 conformal field theory の記述は排除され、物理的系におけるもつれが面積則を対数的補正を超えて破る可能性があるという一般的な信念に対して反例を提供する。

ABSTRACT

The sub-volume scaling of the entanglement entropy with the system's size, $n$, has been a subject of vigorous study in the last decade [1]. The area law provably holds for gapped one dimensional systems [2] and it was believed to be violated by at most a factor of $\log\left(n ight)$ in physically reasonable models such as critical systems. In this paper, we generalize the spin$-1$ model of Bravyi et al [3] to all integer spin-$s$ chains, whereby we introduce a class of exactly solvable models that are physical and exhibit signatures of criticality, yet violate the area law by a power law. The proposed Hamiltonian is local and translationally invariant in the bulk. We prove that it is frustration free and has a unique ground state. Moreover, we prove that the energy gap scales as $n^{-c}$, where using the theory of Brownian excursions, we prove $c\ge2$. This rules out the possibility of these models being described by a conformal field theory. We analytically show that the Schmidt rank grows exponentially with $n$ and that the half-chain entanglement entropy to the leading order scales as $\sqrt{n}$ (Eq. 16). Geometrically, the ground state is seen as a uniform superposition of all $s-$colored Motzkin walks. Lastly, we introduce an external field which allows us to remove the boundary terms yet retain the desired properties of the model. Our techniques for obtaining the asymptotic form of the entanglement entropy, the gap upper bound and the self-contained expositions of the combinatorial techniques, more akin to lattice paths, may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 面積則を対数的補正を超えて破る、物理的に妥当で、局所的かつ並進不変な量子スピン鎖モデルを構築すること。
• このようなモデルにおいてもつれエントロピーが $\sqrt{n}$ とスケーリングし、臨界的またはギャップなし系で予想される $\log n$ とは異なり、べき則による破れを示すこと。
• モデルがフラストレーションフリーで一意な基底状態であることを厳密に証明し、エネルギーギャップが $n^{-c}$ とスケーリングする下界を確立すること、$c \geq 2$ とする。
• 基底状態がすべての $s$-色付きモッツキンウォークの均等重ね合わせであることを示し、もつれとエネルギーの正確な組合せ的解析を可能にすること。
• 境界効果を除去する外部場を導入し、もつれとギャップのスケーリングといったモデルの主要な性質を保持すること。

提案手法

• ブラヴィーらのスピン-1モデルを、上り、下り、フラットなステップを持つ色付きモッツキンウォークに基づくハミルトニアンを用いて、すべての整数スピン-$s$ 鎖へ一般化する。
• 長さ $n$、高さ $m$ のすべての $s$-色付きモッツキンウォークの均等重ね合わせとして基底状態を表現し、組合せ的枠組みを用いてもつれとエネルギーを分析する。
• ブラウン運動のエクスカージョン理論の技術を適用し、スティーブン・ランクおよびもつれエントロピーの漸近的挙動を導出し、$S \sim \sqrt{n}$ と leading order で得る。
• 鞍点近似と積分表現を用いて、外部場演算子 $F$ の期待値を計算し、$\epsilon/n \cdot \langle g_m|F|g_m\rangle$ とスケーリングするエネルギー補正を得る。
• バリエーショナル法を用いてエネルギーギャップの下界を確立し、パス数え上げとランダムウォークの極値統計を用いて $\Delta \geq \Omega(n^{-c})$ と証明し、$c \geq 2$ とする。
• 外部場 $F$ を導入し、埋め込まれたダイクパス（バランスの取れた上り／下りステップ）にのみ結合させることで、境界項を除去しつつもモデルの物理的およびもつれ的性質を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的で並進不変かつフラストレーションフリーな量子スピン鎖モデルが、対数的補正を超えて面積則を破ることができるか？
• RQ2 非ゼロのエネルギーギャップを持つ物理的に妥当な局所的量子系において、もつれエントロピーが最大でどの程度スケーリングできるか？
• RQ3 面積則のべき則による破れを示すモデルが正確に解けるか、かつ系サイズとともに多項式的に閉じるギャップを持つことができるか？
• RQ4 基底状態が色付きモッツキンウォークの均等重ね合わせであるモデルにおいて、もつれエントロピーはどのようにスケーリングするか？
• RQ5 境界効果を外部場によって除去できるか、その際もつれやギャップ構造に影響を与えないか？

主な発見

• 半鎖のもつれエントロピーは、leading order で $\sqrt{n}$ とスケーリングし、面積則のべき則による破れを表す。
• モデルのエネルギーギャップは $n^{-c}$ とスケーリングし、$c \geq 2$ であるため、相対論的 conformal field theory の記述は排除される。
• 基底状態のスティーブン・ランクは $n$ と共に指数関数的に増加し、$\sqrt{n}$ のもつれスケーリングと整合的である。
• 基底状態は、長さ $n$ のすべての $s$-色付きモッツキンウォークの均等重ね合わせであり、明確な組合せ的構造を持つ。
• 外部場の構成により、境界項を除去しつつもモデルの主要な特徴、すなわちもつれとギャップのスケーリングを保持できる。
• もつれエントロピーおよびギャップの漸近的解析は、鞍点近似やブラウン運動のエクスカージョン理論を含む高度な組合せ的技法に依存しており、他のハミルトニアンのギャップ問題に対しても応用可能である可能性がある。