[論文レビュー] Prefab posets` Whitney numbers

A. K. Kwaśniewski|ArXiv.org|Oct 3, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、'prefabs' および 'cobweb posets' と呼ばれる組合せ構造における2つの新しい部分順序を導入し、これらのposet内での第二種のホイットニー数（スターリングに類似した数）の明示的公式を導出する。主な貢献は、第二の構成によりベルに類似した数を一般化されたフィボナッチ三項系列と関連づけ、インシデント係数およびGCD同型列を介して、組合せ的poset構造と再帰数列を結びつけることにある。

ABSTRACT

We introduce a natural partial order in structurally natural finite subsets the cobweb prefabs sets recently constructed by the present author. Whitney numbers of the second kind of the corresponding subposet which constitute Stirling-like numbers` triangular array are then calculated and the explicit formula for them is provided. Next - in the second construction - we endow the set sums of prefabiants with such an another partial order that their their bell like numbers include fibonacci triad sequences introduced recently by the present author in order to extend famous relation between binomial newton coefficients and fibonacci numbers onto the infinity of their relatives among which there are also the fibonacci triad sequences and binomial-like coefficients (incidence coefficients included).

研究の動機と目的

• cobweb prefabsの有限部分集合に自然な部分順序を定義し、その組合せ的構造の研究を可能にする。
• 得られた部分posetの第二種ホイットニー数を計算し、三角行列内のスターリングに類似した数として表現する。
• prefabの集合和に別の部分順序を構成し、フィボナッチ三項系列を含むベルに類似した数を生成する。
• 一般化されたフィボナッチ数列（例：三項系列）をposet枠組み内でのホイットニー数の和として、組合せ的解釈を提供する。
• インシデント係数およびposetに基づくベル数を介して、二項係数類似項とフィボナッチ関連項を統一する。

提案手法

• インデックス対 (k,n) を用いてprefabの層に部分順序 ≤ を定義し、k ≤ k^♣ および n ≤ n^♣ を満たすグリッド型poset P_{k,n} を形成する。
• マンハッタングリッドモデルを用いて、P_{k,n} 内の最大鎖の数を d(k,n) = ((n+1−k)/n) × C(k+n, n) として計算し、0優位のバイナリ文字列と関連付ける。
• ホイットニー数の第二種 W_k(P_{l,m}) を、poset内ランク k の要素数として定義し、S(k,⟨l,m⟩) として特定し、スターリングに類似した三角行列を形成する。
• GCD同型列 F を用いて、prefabの集合和 P(n,F) に第二のposet構造を導入し、P_l ≤ P_ĥ であるのは l ≤ ĥ のときである。
• ベルに類似した数 B_n(F) を、すべてのランク k におけるホイットニー数 S(n,k,F) の和として定義し、S(n,k,F) を F-二項係数 (n−k choose k)_F として特定する。
• 重要な同定：⟨α,β,γ⟩-フィボナッチ数列において α=β=γ=0 の特別な場合に、B_n(F) = F_{n+1}^{[0,0,0]} が成り立つ。これにより、posetの和とフィボナッチ三項系列の特殊ケースとの直接的な組合せ的関係が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cobweb prefabsの有限部分集合に自然な部分順序を定義することで、組合せ的意味を持つ良好に階層化されたposetが得られるか。
• RQ2 最初のposet構成における第二種ホイットニー数の明示的公式は何か。また、スターリング数とどのように関係するか。
• RQ3 prefabの集合和に別の部分順序を定義することで、一般化されたフィボナッチ三項系列を含むベルに類似した数を生成できるか。
• RQ4 GCD同型列に関して、ベルに類似した数の組合せ的解釈は、posetのランクおよびホイットニー数の観点からどのように説明できるか。
• RQ5 得られたベルに類似した数は、既知の数列（例：フィボナッチ三項系列、二項係数）とどのように関係するか。

主な発見

• poset P_{k,n} 内の最大鎖の数は、d(k,n) = ((n+1−k)/n) × C(k+n, n) で与えられ、k = n のときカタラン数に一般化される。
• poset P_{k,n} のサイズは |P_{k,n}| = (n−k)(k+1) + k(k+1)/2 で与えられ、k ≤ n の k×n 矩形内のグリッド点の数え上げから導出される。
• 第二種ホイットニー数 W_k(P_{l,m}) は S(k,⟨l,m⟩) として特定され、ランク k でインデックス付けされたスターリングに類似した三角行列を形成する。
• ベルに類似した数 B(⟨l,m⟩) は、P_{k,n} 内の要素総数に等しく、同じ式 |P_{k,n}| で与えられる。これは、組合せ的解釈を確認する。
• 第二の構成において、ホイットニー数 S(n,k,F) は F-二項係数 (n−k choose k)_F として特定される。ここで F は GCD同型列である。
• ベルに類似した数 B_n(F) は F_{n+1}^{[0,0,0]} に等しいことが示され、posetの和と特殊な ⟨α,β,γ⟩-フィボナッチ数列（パラメータがすべて0）との直接的な組合せ的関係が確立される。