[論文レビュー] Preparing Arbitrary Continuous Functions in Quantum Registers With Logarithmic Complexity

Arthur G. Rattew, Bálint Koczor|arXiv (Cornell University)|May 1, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 15

ひとこと要約

本論文は、所望の分解能に対して対数的ゲート複雑度を有する量子レジスタ内に任意の連続関数を準備するための量子アルゴリズムを提示する。時間発展演算子によるランク1射影子の効率的シミュレーションを活用することで、クエリ複雑度が定数であり、誤差が関数の充填比の逆数に比例する境界を持つ。この手法により、量子化学やファイナンスにおける応用を想定した、効率的な状態準備、数値積分、サンプリングが可能になる。

ABSTRACT

Quantum computers will be able solve important problems with significant polynomial and exponential speedups over their classical counterparts, for instance in option pricing in finance, and in real-space molecular chemistry simulations. However, key applications can only achieve their potential speedup if their inputs are prepared efficiently. We effectively solve the important problem of efficiently preparing quantum states following arbitrary continuous (as well as more general) functions with complexity logarithmic in the desired resolution, and with rigorous error bounds. This is enabled by the development of a fundamental subroutine based off of the simulation of rank-1 projectors. Combined with diverse techniques from quantum information processing, this subroutine enables us to present a broad set of tools for solving practical tasks, such as state preparation, numerical integration of Lipschitz continuous functions, and superior sampling from probability density functions. As a result, our work has significant implications in a wide range of applications, for instance in financial forecasting, and in quantum simulation.

研究の動機と目的

• 任意の連続関数に対応する量子状態を効率的に準備するという、量子高速化を達成する上で鍵となる障壁を克服すること。
• 分解能に対して対数的ゲート複雑度を有する手法を開発し、実用的応用に向けたスケーラブルな量子アルゴリズムを可能にすること。
• 関数の充填比に比例する誤差境界を厳密に導出し、リプシッツ連続関数に対して漸近的に消失することを示すこと。
• 量子化学、オプションプライシング、数値積分における実用的量子アルゴリズムを、効率的な状態準備およびシミュレーションサブルーチンを通じて実現すること。
• 一般の連続振幅関数に対して、ランク1ハミルトニアンのシミュレーションサブルーチンを導入することで、量子情報技術を拡張すること。

提案手法

• 中心的な手法は、離散化された関数のランク1行列表現 $ A_{kl} = f(x_k)f^*(x_l) $ を用い、ターゲット振幅関数を量子ハミルトニアンに符号化すること。
• 低ランクおよび1スパースなシミュレーション技術を用いて、このランク1ハミルトニアンの時間発展演算子を効率的にシミュレートし、定数クエリ実装を可能にする。
• シミュレートされたハミルトニアン $ \mathcal{H} \propto |\psi\rangle\langle\psi| $ の基底状態が、関数振幅に対応する目的の量子状態 $ |\psi\rangle $ として準備される。
• 行列要素の効率的計算に量子オракルを用い、リーマン和近似を用いて離散和と連続ノルムの関係を確立する。
• 積分タスクでは、区分的積分 $ g(x_k) = \sqrt{f(x_k)\Delta_N} $ を用いた修正されたランク1行列を構築し、$ \ell^1 $-ノルム符号化を可能にする。
• 誤差境界は行列ノルム比を用いて導出され、リプシッツ連続関数に対して漸近的収束 $ \epsilon \in \mathcal{O}(N^{-1}) $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の連続関数を、分解能に対して対数的複雑度で量子レジスタ内に準備できるか？
• RQ2 アルゴリズムの誤差とコストが関数の充填比および滑らかさにどのように依存するか？
• RQ3 ランク1ハミルトニアンのシミュレーションをどのように一般振幅関数の効率的準備に応用できるか？
• RQ4 この手法は、量子アルゴリズムにおける確率密度関数からの効率的数値積分およびサンプリングを可能にするか？
• RQ5 連続関数の離散的量子レジスタ内での近似に対する理論的誤差境界は何か？

主な発見

• アルゴリズムは、系のサイズに依存しない、量子ビット数に依存しない定数クエリ複雑度を達成し、$ N \to \infty $ の下で誤差が漸近的に消失する。
• 振幅符号化では誤差境界が $ \mathcal{F}^{-2} + \epsilon $ に比例し、$ \mathcal{F} $ は充填比、$ \epsilon \in \mathcal{O}(N^{-1}) $ はリプシッツ関数に対して成り立つ。
• 積分符号化では誤差比が $ (b-a)\mathcal{F}^{-1} + \epsilon $ に有界であり、同じ漸近的誤差行動を示す。
• 数値シミュレーションにより理論的誤差スケーリングが確認され、リプシッツ連続関数に対して $ \mathcal{O}(N^{-1}) $ と整合する収束が示された。
• 本手法は、分解能に対して対数的複雑度であり、かつ漸近的領域では量子ビット数に依存しない、任意の連続関数に対する量子状態の効率的準備を可能にする。
• 本アプローチは、量子モンテカルロ積分、確率密度関数からのサンプリング、連続系の量子シミュレーションといった実用的応用を支援する。