[論文レビュー] Prescribing metrics on the boundary of convex cores of globally hyperbolic maximal compact AdS 3-manifolds

Boubacar Diallo|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、 genus 1 より大きい閉じた曲面上の任意の双曲的計量の組が、グローバルに双曲的で最大かつコンパクトな反ド・ジッター 3次元多様体の凸核の境界計量として実現可能であることを証明する。テイヒミュラー理論と地震変形を用いて、境界計量写像の上への性質を確立し、AdS幾何におけるメッスの予想の存在部を解決する。

ABSTRACT

We consider globally hyperbolic maximal anti de Sitter 3-manifolds $M$ with a closed Cauchy surface $S$ of genus greater than one and prove that any pair of hyperbolic metrics on $S$ can be realized as the boundary metrics of the convex core of a maximal globally hyperbolic anti de Sitter 3-manifold structure on $M$. This answers the existence part of a question of Mess about the unique realization of such metrics. Our theorem has a nice formulation purely in terms of 2-dimensional Teichmüller theory and earthquakes.

研究の動機と目的

• GHMC AdS 3次元多様体における境界計量の実現に関するメッスの予想の存在部を解決すること。
• クォズィファクス型双曲的3次元多様体とGHMC AdS 3次元多様体の間の類似性を、境界計量実現問題へと拡張すること。
• 境界表面の2つのテイヒミュラー空間の積への、GHMC AdS 構造の空間からの上への写像を確立すること。
• 地震変形とホロノミー表現を用いて、所望の境界計量を構成すること。
• 境界計量写像が1次であることを証明し、すべての双曲的計量の組に対して存在が保証されることを確認すること。

提案手法

• GHMC AdS 3次元多様体を $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R}) \times \mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ 内のホロノミー表現のペアとして表現し、それらを $\mathcal{T}(S) \times \mathcal{T}(S)$ と同定する。
• GHMC AdS 構造の空間から $\mathcal{T}(S) \times \mathcal{T}(S)$ への境界計量写像 $\Phi$ を定義し、各構造に対して上側および下側の境界双曲的計量を割り当てる。
• ホロノミーの変化における境界計量の振る舞いを解析するために地震変形を用いる。
• 定曲率 $k_\pm < -1$ の曲面に関連する写像族 $\Phi_{k_+,k_-}$ の固有性を、テイヒミュラー理論からのコンパクト性補題を用いて証明する。
• スケーリングにおける計量の収束結果に依拠し、サーストンのコンパクト性および収束定理を用いて、写像 $\Phi$ の連続性と固有性を確立する。
• 適切なホモトピー下での不変性を用いて、$\Phi$ の次数を計算し、それが1に等しいことを示し、上への性質を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた曲面（genus >1）上に与えられた任意の双曲的計量の組が、GHMC AdS 3次元多様体の凸核の境界計量として実現可能か？
• RQ2 境界計量写像 $\Phi: \mathcal{T}(S) \times \mathcal{T}(S) \to \mathcal{T}(S) \times \mathcal{T}(S)$ は上への写像か？
• RQ3 境界計量写像 $\Phi$ の次数は何か？ そしてそれは上への性質を示唆するか？
• RQ4 地震変形とホロノミー表現は、AdS幾何における境界計量の実現にどのように関係するか？
• RQ5 $K$-準等角法に依存せずに存在結果を確立できるか？ これはAdS設定では失敗する。

主な発見

• GHMC AdS 3次元多様体の空間から $\mathcal{T}(S) \times \mathcal{T}(S)$ への境界計量写像 $\Phi$ は上への写像である。
• 写像 $\Phi$ は次数1である。これは、$\Phi$ が上への写像であり、$S$ 上のすべての双曲的計量の組が、ある凸核の境界計量として実現可能であることを示唆する。
• 存在結果は、$K$-準等角法とは無関係に、固有性の議論と次数の計算によって確立されている。これは、この設定では不適応である。
• 次数1の性質は適切なホモトピー下でも不変であり、$k < -1$ に対して写像 $\Phi_{k,k^*}$ がホメオモルフィズムであることが示され、次数1が確認される。
• 証明は、テイヒミュラー理論からのコンパクト性補題に依拠しており、特にスケーリングにおける計量の列の収束および部分集合のコンパクト性を含む。
• この結果により、メッスの予想の存在部が確認され、$S$ 上の任意の双曲的計量の組が、等長変換を除いて一意に特定されるGHMC AdS 3次元多様体の境界計量として現れることが示された。