[論文レビュー] Preservation of depth in local geometric Langlands correspondence

Tsao-Hsien Chen, Masoud Kamgarpour|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、局所Langlands対応が表現の深さを保存するという予想の幾何的類似を定式化し、ループ群のカテゴリカル表現の深さが、それに対応する幾何的Langlandsパラメータの深さ以上に抑えられることを証明する。主な革新は、meromorphic接続の傾きをオペルに基づいて定義する新規な定義であり、これによりMoy-Prasad理論とSegal-Sugawara作用素を用いて深さ不等式を証明できるようになった。

ABSTRACT

It is expected that, under mild conditions, local Langlands correspondence preserves depths of representations. In this article, we formulate a conjectural geometrisation of this expectation. We prove half of this conjecture by showing that the depth of a categorical representation of the loop group is less than or equal to the depth of its underlying geometric Langlands parameter. A key ingredient of our proof is a new definition of the slope of a meromorphic connection, a definition which uses opers. In the appendix, we consider a relationship between our conjecture and Zhu's conjecture on non-vanishing of the Hecke eigensheaves produced by Beilinson and Drinfeld's quantisation of Hitchin's fibration for non-constant groups.

研究の動機と目的

• 局所Langlands対応が表現の深さを保存するという予想の幾何的類似を定式化すること。
• オペルを用いてmeromorphic接続の傾きを定義し、幾何的Langlandsにおける深さ解析のための新規な道具を提供すること。
• ループ群のカテゴリカル表現の深さが、それに対応する幾何的Langlandsパラメータの深さ以上に抑えられることを証明すること。
• 提唱された予想と、Beilinson-Drinfeldによる量子化によるHecke固セルヴェシュの非零性に関するZhuの予想との関係を検討すること。

提案手法

• 古典的手法に代わる、オペルを用いたmeromorphic接続の傾きの新規定義を導入する。
• Moy-Prasad理論を用いて、幾何的Langlandsパラメータおよび表現の深さを定義する。
• Segal-Sugawara作用素を用いて、ループ群がアフィン頂点代数に作用する様子を分析する。
• 滑らかな加群へのフーリエ係数の作用を通じて、カテゴリカル表現の深さの上限を確立する。
• Tannakian形式主義を用いて、幾何的構造と表現論的深さを関連付ける。
• Beilinson-DrinfeldによるHitchinのファイブレーションの量子化を通じて、局所予想をグローバル幾何と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的Langlands対応は、古典的局所Langlands予想と同様に、表現の深さを保存するか？
• RQ2 幾何的Langlandsの文脈において、オペル理論を用いてmeromorphic接続の傾きを意味的に定義できるか？
• RQ3 ループ群のカテゴリカル表現の深さは、それに対応する幾何的Langlandsパラメータの深さ以上に抑えられるか？
• RQ4 グローバル量子化から得られるHecke固セルヴェシュの非零性は、臨界レベルにおける局所表現の非自明性をどの程度示唆するか？
• RQ5 任意の穴あき円板上の局所オペルは、非零な局所加群を構成するために必要なように、曲線上にグローバルオペルに拡張可能か？

主な発見

• ループ群のカテゴリカル表現の深さは、それに対応する幾何的Langlandsパラメータの深さ以上に抑えられることを証明し、提唱された予想の半分を解決した。
• オペルを用いたmeromorphic接続の傾きの新規定義が導入され、深さ比較に不可欠な役割を果たした。
• 任意の傾き$1/h$の局所オペルについて、ここで$h$は$\check{G}$のコクセター数であるが、そのオペルがグローバルに拡張できる限り、真空モジュールの中心的還元は非零である。
• 証明は、Segal-Sugawara作用素が特定の順序以降、真空ベクトルに自明に作用することを示すことに依拠しており、この順序は深さによって制御される。
• モジュール$\mathrm{Vac}_x(\chi)$は、$G_{x,1/h^+}$-整数的であり、かつ、グローバルHecke固セルヴェシュ$\mathrm{Aut}_\chi$が非零であれば非零である。
• 予想により、このようなオペルに対して、表現カテゴリ$\widehat{\mathfrak{g}}_c\text{-mod}_\chi$の深さは$1/h$で抑えられることが示唆される。