[論文レビュー] Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Methods for Elliptic Cauchy Problems

Chunmei Wang, Junping Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2018

Numerical methods in engineering参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、制約付き最小化と弱ガレルキン有限要素法の組み合わせにより、病的な楕円型コーシー問題を解くための原双対弱ガレルキン有限要素法を提案する。この手法により、正確な解が満たす対称的かつ適切に定式化された系が得られ、離散的 $H^2$ ノルムにおいて $O(h)$、$L^2$、$L^1$、$L^∞$ ノルムにおいて $O(h^2)$ の最適収束率を示す。モデル問題における数値実験により検証された。

ABSTRACT

The authors propose and analyze a well-posed numerical scheme for a type of ill-posed elliptic Cauchy problem by using a constrained minimization approach combined with the weak Galerkin finite element method. The resulting Euler-Lagrange formulation yields a system of equations involving the original equation for the primal variable and its adjoint for the dual variable, and is thus an example of the primal-dual weak Galerkin finite element method. This new primal-dual weak Galerkin algorithm is consistent in the sense that the system is symmetric, well-posed, and is satisfied by the exact solution. A certain stability and error estimates were derived in discrete Sobolev norms, including one in a weak $L^2$ topology. Some numerical results are reported to illustrate and validate the theory developed in the paper.

研究の動機と目的

• データに連続的な依存性が欠如する病的な楕円型コーシー問題に対して、安定的かつ適切に定式化された数値スキームの開発。
• 境界条件が欠落する楕円型偏微分方程式を制約付き最小化アプローチで解く挑戦への対処。
• 弱ガレルキンフレームワークを用いて、原変数および双対変数の両方に対して、対称的かつ一貫性があり安定な有限要素法の構築。
• 弱 $L^2$ トポロジーを含む離散ソボレフノルムにおける厳密な誤差推定を導出することで、収束性の検証。
• 正確な境界データおよび摂動を加えた境界データを用いた数値実験を通じて、手法の性能の提示。

提案手法

• 手法は、原変数（解）と双対変数（随伴）を結合する制約付き最小化定式化を採用し、対称的方程式系を導出する。
• 弱ガレルキン有限要素法を用いて、原方程式および双対方程式の弱形式を離散化し、弱勾配と弱関数を用いる。
• 制約付き最小化から導かれるオイラー＝ラグランジュ方程式により、元のPDEとその随伴を含む混合系が得られ、これが原双対弱ガレルキン定式化を形成する。
• 数値フラックスとラグランジュ乗数を用いて境界条件を弱く処理することで、安定性と柔軟性が向上する。
• 離散的ソボレフノルムを用いて誤差推定を導出し、弱 $L^2$ トポロジーにおける一つを含む、収束解析の強固さを保証する。
• 三角形または四角形メッシュ上で区分的多項式を用いて数値スキームを実装し、メッシュの細分化による収束率の検証を実施。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約付き最小化を用いることで、病的な楕円型コーシー問題を安定化できる原双対弱ガレルキン有限要素法を構築できるか？
• RQ2 得られる系は、対称性、適切に定式化された性質、正確な解との一貫性を保っているか？
• RQ3 $H^2$、$L^2$、$L^1$、$L^∞$ などのさまざまな離散ノルムにおいて、この手法の最適収束率は何か？
• RQ4 ノイズを含む境界データ下での手法の性能は如何であり、データ摂動に対する感受性は如何であるか？
• RQ5 数値結果が示唆するように、理論的予測を上回る収束率が実際の計算で達成可能か？

主な発見

• 原双対弱ガレルキン有限要素法により、正確な解が満たす対称的かつ適切に定式化された系が得られ、一貫性が保証される。
• 解 $u$ について、離散的 $H^2$ ノルムにおいて $O(h)$ の最適収束が観察された。
• $L^2$、$L^1$、$L^∞$ ノルムにおいて、近似 $u_0$ は $O(h^2)$ の収束を示し、すべてのテストケースで収束次数が2に近く一致した。
• 双対変数 $u_n$ は、離散的 $H^1$ ノルムおよび $W^{1,1}$ ノルムにおいて $O(h^2)$ の収束を示し、理論的期待と整合的であった。
• 数値実験により、理論的予測を上回る性能を示し、複数のノルムにおいて収束次数が $O(h^2)$ に非常に近いことが確認された。
• 境界データの微小なランダム摂動（例：$0.005*(0.5-Rand)$）に対して、スキームが非常に感受性を示すことが判明し、ノイズが多い状況ではさらなる正則化の必要性が示唆された。