[논문 리뷰] Principal actions of stacky Lie groupoids

Henrique Bursztyn, Francesco Noseda외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 54인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 미분 스택 위에 작용하는 스택화된 리 군oids의 주행동에 대한 특성화를 제시하며, 이러한 작용이 주행동임은 작용-투영 사상이 약한 표현 가능할 때이고, 그 조건은 몫이 미분 스택이 되고, 투영이 주배럴을 이룬다는 것을 보장한다. 이는 고차원 미분 카테고리로 고전적 리 군oids 이론을 확장하며, 스택화된 리 군oids에 대한 모리타 동치 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Stacky Lie groupoids are generalizations of Lie groupoids in which the "space of arrows" of the groupoid is a differentiable stack. In this paper, we consider actions of stacky Lie groupoids on differentiable stacks and their associated quotients. We provide a characterization of principal actions of stacky Lie groupoids, i.e., actions whose quotients are again differentiable stacks in such a way that the projection onto the quotient is a principal bundle. As an application, we extend the notion of Morita equivalence of Lie groupoids to the realm of stacky Lie groupoids, providing examples that naturally arise from non-integrable Lie algebroids.

연구 동기 및 목표

• 고전적 리 군oids의 주행동 개념을 스택화된 리 군oids가 미분 스택 위에 작용할 때로 확장하기 위해.
• 몫 공간에 의존하지 않고 작용의 내재적 성질에 기반한 주행동의 특성화를 제공하기 위해.
• (이중)주행동(이중)배럴을 사용하여 스택화된 리 군oids에 대한 모리타 동치를 일반화하기 위해.
• 스택화된 리 군oids 작용의 몫이 작용-투영 사상이 약한 표현 가능할 때에만 미분 스택이 된다는 것을 확립하기 위해.
• 일반적인 리 군oids로 제한할 경우 이 이론이 고전적 결과를 복원한다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 저자들은 작용-투영 사상 $\mathcal{X} \times_M \mathcal{G} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}$의 약한 표현 가능성을 사용하여 스택화된 리 군oids가 미분 스택 위에 작용하는 주행동을 정의한다.
• 약한 표현 가능성 조건에 포함된 1-자유성(1-freeness)이라는 자유도 유사 조건을 도입한다.
• 예-몫의 스택화를 통해 몫 스택 $\mathcal{X}/\mathcal{G}$를 구성하며, 약한 표현 가능성 조건 하에서 미분 가능성을 보장한다.
• 2-카테고리 도구, 즉 자연 변환과 일관성 조건을 활용하여 스택화된 설정에서 주배럴의 구조를 검증한다.
• 스택화된 리 군oids에 대한 모리타 동치를 정의하기 위해 이중주행동 이중배럴의 개념을 사용하며, 고전적 리 군oids의 경우를 일반화한다.
• 스택화된 이중주행동 이중배럴이 병합 가능함을 증명하여, 스택화된 설정에서 모리타 동치가 등가 관계임을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스택화된 리 군oids $\mathcal{G}$가 미분 스택 $\mathcal{X}$ 위에 작용할 때, 몫이 미분 스택이 되고 투영이 주배럴이 되는 의미에서 주행동이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고전적 주행동 특성화(자유이고 올바름)가 몫 공간에 의존하지 않고 스택화된 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 주배럴의 구조를 사용하여 일반적인 리 군oids에서 스택화된 리 군oids로 모리타 동치를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 작용-투영 사상의 약한 표현 가능성은 몫 스택의 미분 가능성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 스택화된 리 군oids 작용의 몫이 어떤 조건에서 미분 스택의 구조를 상속하는가?

주요 결과

• 스택화된 리 군oids $\mathcal{G}$가 미분 스택 $\mathcal{X}$ 위에 작용할 때, 작용-투영 사상 $\mathcal{X} \times_M \mathcal{G} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}$가 약한 표현 가능할 때에만 주행동이다.
• 약한 표현 가능성 조건은 작용의 1-자유성과 몫 스택의 미분 가능성을 모두 포함하며, 통합된 기준을 제공한다.
• 만약 $\mathcal{G}$가 일반적인 리 군oids일 경우, 약한 표현 가능성 조건은 자동으로 만족되며, 이는 만일의 매니폴드 위에 미분 가능 작용이 스택화된 의미에서 항상 주행동이 된다는 고전적 결과를 복원한다.
• 스택화된 리 군oids의 몫 스택 $\mathcal{X}/\mathcal{G}$는 작용-투영 사상이 약한 표현 가능할 때에만 미분 스택의 구조를 상속한다.
• 스택화된 이중주행동 이중배럴은 병합 가능하며, 이는 스택화된 리 군oids에 대한 모리타 동치를 등가 관계로 정의할 수 있게 한다.
• 이 이론은 일반적인 리 군oids에서의 모리타 동치를 스택화된 리 군oids로 확장하며, 그에 관련된 스택화된 군oids를 통해 비적분 가능 리 앨지브로이드에 대한 프레임워크를 제공한다.