[논문 리뷰] Group actions on stacks and applications to equivariant string topology for stacks

Rafael J. L. Morcillo, Behrang Noohi|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 29인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유도된 미분 가능 스택 $\mathfrak{X}$ 의 자유 루프 스택 $\mathrm{L}{\mathfrak{X}}$ 의 $S^1$-동차 호모로지에 계단형 리 대수 구조를 수립하며, 스택으로의 체이스-서울링 스트링 브라켓의 일반화를 수행한다. 이는 전이 사상과 몫 스택 기법을 통해 수행되며, $H^{S^1}_{*+\dim{\mathfrak{X}}-2}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})$ 가 계단형 리 대수임을 증명하고, 2차원 오비폴드에 대해 홀스타인 유형 브라켓을 명시적으로 제공한다.

ABSTRACT

This paper is a continuations of the project initiated in the book string topology for stacks. We construct string operations on the SO(2)-equivariant homology of the (free) loop space $L(X)$ of an oriented differentiable stack $X$ and show that $H^{SO(2)}_{*+dim(X) -2}(L(X))$ is a graded Lie algebra. In the particular case where $X$ is a 2-dimensional orbifold we give a Goldman-type description for the string bracket. To prove these results, we develop a machinery of (weak) group actions on topological stacks which should be of independent interest. We explicitly construct the quotient stack of a group acting on a stack and show that it is a topological stack. Then use its homotopy type to define equivariant (co)homology for stacks, transfer maps, and so on.

연구 동기 및 목표

• 체이스-서울링의 스트링 토폴로지 구성법을 미분 가능 스택으로 확장함으로써, 특히 자유 루프 스택 $\mathrm{L}{\mathfrak{X}}$ 에서 $S^1$-동차 스트링 브라켓을 정의하는 것.
• 주어진 응용과 독립적으로 일반적인 군 작용과 몫의 이론을 개발함으로써, 동차 토폴로지 분야에서의 광범위한 적용 가능성을 확보하는 것.
• 2차원 오비폴드에 대해 스트링 브라켓의 기하적 실현을 제공함으로써, 고전적 홀스타인 브라켓을 다각형이 아닌 스택으로 일반화하는 것.
• 동차 (코)호모로지의 정의를 몫 스택의 호모토피 유형을 사용하여 스택에 대해 수행함으로써, 전이 사상과 고시 수열의 사용을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 군 $G$ 가 스택 ${\mathfrak{X}}$ 에 작용할 때 몫 스택 $[G\backslash{\mathfrak{X}}]$ 를 구성하며, ${\mathfrak{X}}$ 가 기하학적일 경우 이가 기하학적 위상 스택임을 보임.
• mapping 스택의 분류 공간을 통한 동차 호모로지의 정의를 위해 몫 스택 $[S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ 의 호모토피 유형을 사용함.
• 전단사 사상 $q: \mathrm{L}{\mathfrak{X}} \to [S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ 를 이용해 전이 사상 $T: H^{S^1}_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[2-d] \to H_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[1-d]$ 를 도입함.
• Pontryagin 곱 $\star$ 를 사용하여 브라켓을 $\{x,y\} := (-1)^{|x|} q(T(x) \star T(y))$ 로 정의하고, 이가 이동된 동차 호모로지에 계단형 리 대수 구조를 부여함을 증명함.
• 2차원 오비폴드에 이 프레임워크를 적용하기 위해, 몰입 스택 $[S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ 의 기본군이 기초 표면의 내부와 위상 동일함을 보임으로써 홀스타인 유형 기술이 가능함을 밝힘.
• 반환 정리와 기본군의 표현을 사용하여 $H_0^{S^1}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})$ 에서의 리 대수 구조가 표면 기본군의 공轭류 위의 자유 모듈과 동형임을 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체이스-서울링의 스트링 브라켓 구성법을 다각형에서 미분 가능 스택으로 일반화할 수 있는가, 특히 동차 호모로지를 통한가?
• RQ2 표준적인 군집 모델이 함자적이지 않을 때, 군 작용과 몰입 스택을 사용하여 스택에 대한 동차 (코)호모로지를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 2차원 오비폴드에 대해 스트링 브라켓의 명시적 기하적 기술은 무엇이며, 고전적 홀스타인 브라켓과의 관계는 어떠한가?
• RQ4 동차 호모로지에서 비동차 호모로지로의 전이 사상이 스택 설정에서 리 대수 구조를 유지하는가?
• RQ5 몰입 스택 $[S^1\backslash\mathrm{L}{\mathfrak{X}}]$ 의 호모토피 유형이 동차 호모로지 및 그 대수적 구조를 어느 정도 결정하는가?

주요 결과

• $S^1$-동차 호모로지 $H^{S^1}_{*+\dim{\mathfrak{X}}-2}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})$ 는 브라켓 $\{x,y\} := (-1)^{|x|} q(T(x) \star T(y))$ 에 대해 계단형 리 대수임.
• 전이 사상 $T: H^{S^1}_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[2-d] \to H_*(\mathrm{L}{\mathfrak{X}})[1-d]$ 는 리 대수 준동형사상이며, 대수적 구조를 유지함.
• 2차원 오비폴드 ${\mathfrak{X}}_{g,h}$ 에 대해 리 대수 $H_0^{S^1}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}}_{g,h})$ 는 $\mathbb{Z}[\operatorname{Conj}(F(\gamma_1,\dots,\gamma_{2g}, a_1,\dots,a_{h-1}))]$ 와 동형이며, 루프의 기하적 교차를 통해 브라켓을 계산할 수 있음.
• $(\Sigma_{g,h,0})^0 \hookrightarrow {\mathfrak{X}}_{g,h}$ 의 포함은 $\pi_1$ 에 대해 동형을 유도하며, 따라서 자유 루프를 취한 후 홀스타인 리 대수에 대해 동형을 유지함.
• ${\mathfrak{X}}_{g,h}$ 의 호모로지 $H_3({\mathfrak{X}}_{g,h})$ 는 $\mathbb{Z}^{h-1} \oplus \mathbb{Z}$ 와 동형이며, 비자명한 확장이 없어, 관련된 군형 구조가 완전히 결정됨.
• $H_0^{S^1}(\mathrm{L}{\mathfrak{X}}_{g,h})$ 의 생성자 $\gamma_i$ 와 $\gamma_j$ 의 스트링 브라켓은 일반적으로 비자명하며, 비아벨적 교차 행동을 반영함.