[論文レビュー] Pro-Chern-Schwartz-MacPherson class for DM stacks

Yunfeng Jiang|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、スキームからDeligne-Mumford (DM) スタックへとAluffiのPro-CSM（Pro-Chern-Schwartz-MacPherson）クラス構成を一般化し、DM スタック上の可 constructible 関数に対してPro-CSMクラスを定義する。特に、固有なDMスタックに対して、Behrend関数のPro-CSMクラスがAluffiクラスに一致することを証明し、その積分が重み付きオイラー標数を与えることから、Donaldson-Thomas理論における仮説の1つであるBehrendの予想を裏付ける。

ABSTRACT

We generalize the definition of Pro-Chern-Schwartz-MacPherson (Pro-CSM) class of Aluffi for schemes to not necessarily proper DM stacks. The Pro-CSM class of constructible functions on a DM stack $\cX$ can be similarly defined. In the case that $\cX$ is proper, the Pro-CSM class of the Behrend function of $\cX$ is the same as the Chern-Schwartz-MacPherson (CSM) class for the Behrend function. The integration of this class over $\cX$ gives rise to the weighted Euler characteristic corresponding to the Behrend function, thus proving a conjecture of Behrend.

研究の動機と目的

• スキームからDeligne-MumfordスタックへとAluffiのPro-CSMクラス構成を拡張すること。
• DMスタック上の可 constructible 関数に対してPro-CSMクラスを定義すること。
• 固有なDMスタックに対して、Behrend関数のPro-CSMクラスがAluffiクラスに一致することを証明すること。
• このクラスの積分が重み付きオイラー標数を与えることを確認し、Behrendの予想を裏付けること。
• DMスタックに対して、可 constructible 関数からPro-Chow群への自然変換を確立すること。

提案手法

• DMスタック $\mathcal{X}$ に対して、$\mathcal{X}_i$ が固有であるような正則コンパクト化 $\mathcal{U} \to \mathcal{X}_i$ の射影極限として、Pro-Chow群ファンクター $\hat{A}_*(\mathcal{X})$ を定義する。
• 可 constructible 関数のファンクターから $\hat{A}_*(\mathcal{X})$ への自然変換を用いて、Pro-CSMクラスを構成し、Aluffiのスキームレベルでの構成を一般化する。
• Nash展開と余接サイクル構成を用いて、スタック内のサイクルに対するChern-Matherクラスを定義し、局所的オイラー障害と関連付ける。
• GinzburgおよびBehrendの結果を用いて、チャーン文字、特徴的サイクル、ラグランジュ交叉を含む可換図式を確立する。
• 変換の自然性と押し出し性質を用いて、固有なDMスタックにおけるBehrend関数 $\nu_{\mathcal{X}}$ のPro-CSMクラスがAluffiクラス $\alpha_{\mathcal{X}}$ に一致することを証明する。
• ラグランジュ交叉理論を用いて、$\int_{\mathcal{X}} \alpha_{\mathcal{X}} = \chi(\mathcal{X}, \nu_{\mathcal{X}})$ を示し、Behrendの予想を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AluffiのPro-CSMクラス構成は、スキームからDeligne-Mumfordスタックへ拡張可能か？
• RQ2 固有なDMスタック上でのBehrend関数のPro-CSMクラスは、Behrendが定義したAluffiクラスと一致するか？
• RQ3 固有なDMスタック上でのBehrend関数のPro-CSMクラスの積分は、重み付きオイラー標数 $\chi(\mathcal{X}, \nu_{\mathcal{X}})$ に等しいか？
• RQ4 可 constructible 関数からPro-Chow群への自然変換は、代数的多様体からDMスタックへ一般化可能か？
• RQ5 Pro-CSMクラスの幾何的解釈は、ラグランジュ交叉の観点からどのように説明できるか？

主な発見

• 固有なDMスタック $\mathcal{X}$ 上でのBehrend関数 $\nu_{\mathcal{X}}$ のPro-CSMクラスは、Aluffiクラス $\alpha_{\mathcal{X}}$ に等しい。
• 固有なDMスタック $\mathcal{X}$ に対して、$\mathcal{X}$ のPro-CSMクラスは標準的なCSMクラスに一致する。
• $\mathcal{X}$ 上での$\nu_{\mathcal{X}}$ のPro-CSMクラスの積分は、重み付きオイラー標数 $\chi(\mathcal{X}, \nu_{\mathcal{X}})$ を与え、Behrendの予想を証明する。
• $\nu_{\mathcal{X}}$ の特徴的サイクルは $\Omega_{\mathcal{M}}$ 内のラグランジュサイクルであり、そのゼロ切断との交叉数は重み付きオイラー標数を与える。
• Pro-CSMクラス構成は、固有な押し出しと整合性を保ち、MacPhersonの関手的性質をDMスタックへ一般化する。
• 結果は、紙の中で示された可換図式を通じて、ラグランジュ交叉公式 $\int_{\mathcal{X}} \alpha_{\mathcal{X}} = I(\operatorname{Ch}(\nu_{\mathcal{X}}), [\mathcal{M}])$ と整合する。