[論文レビュー] Virtual signed Euler characteristics

Yunfeng Jiang, Richard Thomas|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、完備な障害理論を持つ空間 $M$ に上をのせた錐 $N$ を構成し、$N$ が局所的に関数の臨界集合であるようにする。$\mathbb{C}^*$-固定点集合 $M$ に $N$ の仮想サイクルを局所化することで、$M$ の仮想符号付きオイラー次元の五つの概念を定義する。四つの概念—Graber-Pandharipande、Behrend Kai-重み付き、Kiem-Li 除法、および符号 $(-1)^{\operatorname{vd}}$ を持つトポロジカルオイラー次元—が等しいことを証明するが、Ciocan-Fontanine-Kapranov/Fantechi-Göttsche 不変量は Graber-Pandharipande のバージョンに等しいが、変形不変性を持つのは前者の二つに限る。

ABSTRACT

Roughly speaking, to any space $M$ with perfect obstruction theory we associate a space $N$ with symmetric perfect obstruction theory. It is a cone over $M$ given by the dual of the obstruction sheaf of $M$, and contains $M$ as its zero section. It is locally the critical locus of a function. More precisely, in the language of derived algebraic geometry, to any quasi-smooth space $M$ we associate its $(-1)$-shifted cotangent bundle $N$. By localising from $N$ to its $\mathbb C^*$-fixed locus $M$ this gives five notions of virtual signed Euler characteristic of $M$: (1) The Ciocan-Fontanine-Kapranov/Fantechi-Göttsche signed virtual Euler characteristic of $M$ defined using its own obstruction theory, (2) Graber-Pandharipande's virtual Atiyah-Bott localisation of the virtual cycle of $N$ to $M$, (3) Behrend's Kai-weighted Euler characteristic localisation of the virtual cycle of $N$ to $M$, (4) Kiem-Li's cosection localisation of the virtual cycle of $N$ to $M$, (5) $(-1)^{vd}$ times by the topological Euler characteristic of $M$. Our main result is that (1)=(2) and (3)=(4)=(5). The first two are deformation invariant while the last three are not.

研究の動機と目的

• 完備な障害理論を持つ空間 $M$ に対して、仮想符号付きオイラー次元の複数の概念を定義すること。
• $M$ を底面とする錐であり、対称的障害理論を備えた標準的な空間 $N$ を構成すること。
• $N$ の不変量と $M$ の不変量との関係を、$\mathbb{C}^*$-局所化によって関係づけること。
• Graber-Pandharipande、Behrend Kai、Kiem-Li 除法、および符号 $(-1)^{\operatorname{vd}}$ を持つトポロジカルオイラー次元といった、異なる局所化技法を比較・統合すること。
• どの不変量が変形不変であり、どの不変量がそうでないかを明確にし、文献における曖昧さを解消すること。

提案手法

• $M$ の導来空間の $(-1)$-シフトされた余接バンドルとして $N$ を構成する。あるいは同値に、$\operatorname{Spec}\operatorname{Sym}^\bullet \operatorname{Ob}_M \to M$ としての錐として。
• 局所的モデル $\operatorname{Crit}(\widetilde{s}) \subset \mathrm{Tot}(E^*)$ を用いて、$N$ が障害バンドルの双対の全空間上の関数 $\widetilde{s}$ の臨界集合に局所的に一致することを示す。
• $N$ に作用する $\mathbb{C}^*$-作用（ファイバーのスケーリング）を用いて、仮想サイクルおよびBehrend関数を固定点集合 $M$ に局所化する。
• 仮想サイクル $[N]^{\operatorname{vir}}$ に対して、Graber-Pandharipande の仮想アティヤ＝ボット局所化を適用し、$M$ 上の仮想サイクルを得る。
• Behrendの公式 $\chi^N(p) = (-1)^{\dim \mathrm{Tot}(E^*)} (1 - e(F_p))$ を用いて、$N$ 上のBehrend関数を計算し、$M$ 上で $(-1)^{\operatorname{vd}}$ に制限されることを示す。
• Kiem-Li 除法理論を用いる：$\mathbb{C}^*$-作用はオイラーベクトル場を誘導し、これにより障害層への除法が得られ、$N$ の仮想サイクルを $M$ に局所化できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト空間 $N$ 上の仮想サイクルに対する、異なる局所化技法が固定点集合 $M$ に制限されたとき、どのように関係するか？
• RQ2 Graber-Pandharipande、Behrend Kai-重み付き、Kiem-Li 除法、および符号 $(-1)^{\operatorname{vd}}$ を持つトポロジカルオイラー次元で定義される仮想符号付きオイラー次元は、等価か？
• RQ3 なぜ一部の不変量（例：Ciocan-Fontanine-Kapranov）は変形不変である一方、他の不変量（例：Behrend Kai）はそうではないのか？
• RQ4 障害理論を備えた $M$ の上に作られた錐 $N$ に対して、Behrend関数 $\chi^N$ の $M$ 上での正確な値は何か？
• RQ5 $N$ に作用する $\mathbb{C}^*$-作用を用いて、非コンパクトなファイバー全域でミルナーのフィラーやオイラー次元を一様に計算できるか？

主な発見

• $N$ 上のBehrend関数 $\chi^N$ は $M$ 上に定数 $(-1)^{\operatorname{vd}}$ に制限される。すなわち、$\chi^N|_M \equiv (-1)^{\operatorname{vd}}$。
• Behrend Kai-重み付きオイラー次元は、$e(M, \chi^N|_M) = (-1)^{\operatorname{vd}} e(M)$ に局所化され、これは符号 $(-1)^{\operatorname{vd}}$ を持つ $M$ のトポロジカルオイラー次元と一致する。
• Kiem-Li 除法による仮想サイクルの局所化は、Behrend Kai-重み付きオイラー次元と同一であり、両者とも $(-1)^{\operatorname{vd}} e(M)$ に等しい。
• Graber-Pandharipande の仮想アティヤ＝ボット局所化により、$[N]^{\operatorname{vir}}$ を $M$ に局所化した結果は、$M$ の Ciocan-Fontanine-Kapranov/Fantechi-Göttsche の符号付き仮想オイラー次元 $\int_{[M]^{\operatorname{vir}}} c_{\operatorname{vd}}(E^\bullet)$ と一致する。
• 四つの不変量—Behrend Kai、Kiem-Li 除法、符号付きトポロジカルオイラー次元、Graber-Pandharipande 局所化—は互いに等しいが、Ciocan-Fontanine-Kapranov 不変量は Graber-Pandharipande のものに等しいが、変形不変性を持つのは後者の二つに限る。