[論文レビュー] Probability measures related to geodesics in the space of Kähler metrics

Bo Berndtsson|ArXiv.org|Jul 10, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、複素線束 $L$ 上の正の曲率を持つメトリック空間 $\mathcal{H}_L$ における測地線に関連する確率測度が、無限次元ケーラー計量空間上に対応する測度に弱収束することを確立する。測地線に沿った接ベクトルのスペクトル測度を分析することで、近似パラメータ $k \to \infty$ の下でこれらの測度のモーメントが収束することを証明し、モーメント収束を用いて既知の測地線距離の結果および Donaldson の $Z$-汎関数の収束を回復する。

ABSTRACT

We associate certain probability measures on $\R$ to geodesics in the space $\H_L$ of positively curved metrics on a line bundle $L$, and to geodesics in the finite dimensional symmetric space of hermitian norms on $H^0(X, kL)$. We prove that the measures associated to the finite dimensional spaces converge weakly to the measures related to geodesics in $\H_L$ as $k$ goes to infinity. The convergence of second order moments implies a recent result of Chen and Sun on geodesic distances in the respective spaces, while the convergence of first order moments gives convergence of Donaldson's $Z$-functional to the Aubin-Yau energy. We also include a result on approximation of infinite dimensional geodesics by Bergman kernels which generalizes work of Phong and Sturm.

研究の動機と目的

• 線束 $L$ 上の正の曲率を持つメトリック空間 $\mathcal{H}_L$ の測地線に関連する $\mathbb{R}$ 上の確率測度を定義する。
• $H^0(X,kL)$ 上のヘルミートノルムの有限次元対称空間 $\mathcal{H}_k$ に対して類似の測度を定義する。
• $k \to \infty$ の下で $\mathcal{H}_k$ 上のスペクトル測度が $\mathcal{H}_L$ 上のそれらに弱収束することを証明する。
• モーメントの収束が測地線距離および Donaldson の $Z$-汎関数に関する既知の結果を回復することを示す。

提案手法

• 測地線の接ベクトルである $A_k$ のスケーリング $k^{-1}A_k$ の正規化スペクトル測度 $\nu_k$ を定義する。
• $\nu_k$ の2階モーメントを $\mathcal{H}_k$ 内の点間の正規化測地線距離に関連付ける。
• Monge-Ampère方程式 $(i\partial\bar\partial\phi^t)^{n+1} = 0$ を用いて、$\mathcal{H}_L$ 内の無限次元測地線 $\phi^t$ を定義する。
• 測地線に関連する作用素 $T_{k,\xi}$ のスペクトルデータを用いて、$\mathbb{R}$ 上の対応する確率測度を構成する。
• Bergman核の漸近挙動と Hörmander $L^2$ 評価を用いて、$B_{t,k}$ と $B_{\phi^t,k}$ を比較し、一様近似を証明する。
• Toepliz作用素の漸近挙動とスペクトル摂動論を用いて、モーメントの収束を介して弱収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元空間 $\mathcal{H}_k$ 内の測地線に関連する確率測度は、$k \to \infty$ の下で無限次元空間 $\mathcal{H}_L$ 内のそれらに収束するか？
• RQ2 これらの測度の2階モーメントの収束は、Chen と Sun の測地線距離収束に関する結果を回復できるか？
• RQ3 1階モーメントの収束は、Donaldson の $Z$-汎関数が Aubin-Yau エネルギー汎関数に収束することを示唆するか？
• RQ4 Bergman核は、$k$ が大きい極限において $\mathcal{H}_L$ 内の測地線をどのように近似するか？
• RQ5 測地線に関連する Toepliz作用素のスペクトル測度の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 測地線に関連する確率測度 $\nu_k$ は、$k \to \infty$ の下で $\mathcal{H}_L$ 内に対応する測度に弱収束する。
• $\nu_k$ の2階モーメントは、$\mathcal{H}_L$ 内の正規化測地線距離の平方に収束し、Chen と Sun の測地線距離収束に関する結果を回復する。
• $\nu_k$ の1階モーメントは、正規化された Donaldson の $Z$-汎関数に収束し、Aubin-Yau エネルギー汎関数への収束を示唆する。
• 作用素 $T_{k,\xi}$ のスペクトル測度は、$\xi$ を介した体積形式 $\omega^\phi_n/\mathrm{Vol}$ の押し出しに弱収束し、重要な漸近的スペクトル結果を確立する。
• 測地線に付随する Bergman 核 $B_{t,k}$ は、$|k^{-1}\log B_{t,k} - k^{-1}\tau - \phi^t| \leq Ck^{-1}\log k$ を満たし、一様近似を示す。
• 証明は、曲率推定と Bergman 核の極値性を用いて $B_{t,k}$ を $B_{\phi^t,k}$ と比較し、$a$ が大きい場合に補題 4.1 を用いて下界を確立する。