[論文レビュー] Propagation dynamics of solutions to spatially periodic reaction-diffusion systems with hybrid nonlinearity

Quentin Griette, Hiroshi Matano|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2021

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、解の大きさに応じて反応項が小さい解では協同的で、大きな解では競争的となるハイブリッド非線形性を有する空間周期的反応拡散系における伝播ダイナミクスを調査する。線形単調系に対する最小速度の公式を確立し、拡散がない場合でも方向的非等方性が生じることを証明し、特定の条件下で線形的決定性が成立することを示し、進化的および疫学的モデルへの応用も提示する。

ABSTRACT

In this paper we investigate the dynamical properties of a spatially periodic reaction-diffusion system {whose reaction terms are of hybrid nature in the sense that they are partly competitive and partly cooperative depending on the value of the solution. This class of problems includes various biologically relevant models and in particular many models focusing on the Darwinian evolution of species. We start by studying the principal eigenvalue of the associated differential operator and establishing a minimal speed formula for linear monotone systems. In particular, we show that the generalized Dirichlet principal eigenvalue and the periodic principal eigenvalue may not coincide when the reaction matrix is not symmetric, in sharp contrast with the case of scalar equations. We establish a sufficient condition under which equality holds for the two notions. We also show that the propagation speed may be different depending on the direction of propagation, even in the absence of a first-order advection term, again in a sharp contrast with scalar equations. Next we reveal the relation between the hair-trigger property of front propagation and the sign of the periodic principal eigenvalue. Finally, we discuss the linear determinacy of the propagation speed and also establish the existence of travelling waves travelling whose speeds greater than the minimal speed is also proved. We apply our results to an important class of epidemiological models with genetic mutations.

研究の動機と目的

• 解の大きさに応じて反応項が協同的および競争的行動に切り替わる空間周期的反応拡散系のダイナミクス的挙動を分析すること。
• 強い結合性と非対称反応行列を有する系における伝播速度を決定づける線形化作用素の主固有値を調査すること。
• 非対称反応行列に対しても一般化されたディリクレ型および周期的主固有値が一致する条件を確立すること。
• 伝播速度の方向依存性を探索し、一次的拡散項が存在しない場合でも伝播が非等方的であることを示すこと。
• 前線伝播における髪の毛トリガー効果および線形的決定性を検討し、最小速度を超える進行波の存在を証明すること。

提案手法

• 反応項が正の錐の近傍で協同的で、それ以外では競争的である、L周期的係数およびハイブリッド非線形性を有するd次元反応拡散系のクラスを分析する。
• 特に周期的主固有値に注目し、周期的固有値問題のスペクトル理論を用いて線形単調系に対する最小速度の公式を導出する。
• 移流効果を分離する変換を導入し、関数 $\mathcal{Q}(x)$ および重み付き自己随伴作用素を用いて方向的伝播速度の分析を可能にする。
• フレドホルムの補題およびスペクトル理論を適用し、$k(\lambda) = \tilde{k}(\lambda - \int_0^1 \frac{q}{2\sigma} \, dx)$ を示し、右方および左方伝播速度の比較を可能にする。
• 放物型正則性およびコンパクトネスの議論を用いて解の極限型を抽出し、安定性結果を適用して平衡状態への収束を証明する。
• 変異駆動型結合を有する二種類の種モデルに理論を適用し、遺伝的多様性を有する病原体の拡散をモデル化し、線形的決定性のもとで解が共存平衡に局所的に一様に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称反応拡散系において、一般化されたディリクレ型および周期的主固有値が一致する条件は何か？
• RQ2 移流項が存在しない場合でも、異なる空間方向における伝播速度が異なることはあり得るか？
• RQ3 周期的主固有値の符号と、前線伝播における髪の毛トリガー効果との関係は何か？
• RQ4 ハイブリッド非線形性を有する協同的系において線形的決定性が成立するか？また、進行波の存在とどのように関係するか？
• RQ5 変異率および空間的不均一性は、進化的および疫学的モデルにおける伝播速度および長期的ダイナミクスにどのように影響を与えるか？

主な発見

• 反応行列が非対称である場合、一般化されたディリクレ型および周期的主固有値は異なる場合があるが、ある特定の対称性条件を満たせば一致する。
• 拡散および反応項の構造のおかげで、明示的な移流項がなくても伝播速度が非等方的（異なる方向で異なる）であることがある。
• $\int_0^1 \frac{q(x)}{2\sigma(x)} \, dx < 0$ であれば右方伝播速度 $c^{*}_{\text{right}} > c^{*}_{\text{left}}$ が成り立ち、逆も同様である。これは移流プロファイルに起因する方向的非対称性を示している。
• 線形的決定性が本系で成立する：局所的初期データからの伝播速度は、進行波の最小速度に等しい。これは提示された協同的および周期的条件のもとで成立する。
• 変異を伴う二種類の種モデルでは、初期データが非自明かつ非負であれば、解は局所的に一様に共存平衡 $ (u^*, v^*) $ に収束する。
• 最小速度 $ c^* $ を超えるすべての速度に対して進行波解が存在し、極限型の安定性およびコンパクトネスの議論を用いてその存在が確立されている。