[論文レビュー] Propagation of chaos for some 2 dimensional fractional Keller Segel equations in diffusion dominated and fair competition cases

Samir Salem|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

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ひとこと要約

本稿は、分数ラプラシアン $-(-\Delta)^{a/2}$、$a\in(1,2)$、特異的相互作用カーネル $|x|^{1-\alpha}$、$\alpha\in(1,a]$ を有する2次元分数ケラー–セゲルモデルにおける拡散の混沌の伝播を確立する。$\alpha\in(1,a)$ の場合、分数フィッシャー情報関数の $\Gamma$-下半連続性を用いて完全な混沌の伝播を証明し、$a=\alpha$ の公平な競合状況において、臨界質量未満の条件下で収束/一貫性結果を確立する。

ABSTRACT

In this work we deal with the local in time propagation of chaos without cut-off for some two dimensional fractional Keller Segel equations. More precisely the diffusion considered here is given by the fractional Laplacian operator $-(-Δ)^{\frac{a}{2}}$ with $a \in (1,2)$ and the singularity of the interaction is of order $|x|^{1-α}$ with $α\in ]1,a]$. In the case $α\in (1,a)$ we give a complete propagation of chaos result, proving the $Γ$-l.s.c property of the fractional Fisher information, already known for the classical Fisher information, using a result of Mischler and Hauray. In the fair competition case $a=α$, we only prove a convergence/consistency result in a sub-critical mass regime, similarly as the result obtained for the classical Keller-Segel equation.

研究の動機と目的

• $a$-安定なレビ飛行と特異的相互作用を有する2次元分数ケラー–セゲル系における混沌の伝播を確立すること。
• 拡散支配状態 ($\alpha\in(1,a)$) および公平な競合状態 ($a=\alpha$) の両方の状況で、系を分析すること。
• 古典的な混沌の伝播フレームワークを分数拡散および特異的相互作用カーネルに拡張すること。
• 拡散支配状態における分数フィッシャー情報関数の $\Gamma$-下半連続性を証明すること。
• 臨界質量未満の条件下で、$a=\alpha$ の公平な競合状況における粒子系の収束/一貫性結果を確立すること。

提案手法

• 粒子数 $N$ の相互作用する $a$-安定なレビ過程を用いて細菌の化学走性をモデル化し、相互作用カーネルを $K_\alpha(x) = -x/|x|^\alpha$ とする。
• $N \to \infty$ の極限において、非線形PDEの極限 $\partial_t \rho_t + \chi \nabla \cdot (\rho_t \ast K_\alpha) + (-\Delta)^{a/2} \rho_t = 0$ を導出する。
• マルティングル法を用いて、粒子系が非線形SDEおよびPDE極限に収束することを証明する。
• 分数フィッシャー情報関数を適用し、$\alpha\in(1,a)$ の場合に [18] の結果を用いてその $\Gamma$-下半連続性を証明する。
• 緊密性推定およびモーメントバウンドを用いて、経験測度を制御し、弱収束を保証する。
• 凸結合の議論と弱収束の技術を用いて、極限関数の下半連続性および一貫性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N \to \infty$ の極限において、$N$ 個の相互作用する $a$-安定なレビ過程の粒子系は、非線形分数PDEに収束するか？
• RQ2 $a$ と $\alpha$ にどのような条件を課すと、分数ケラー–セゲルモデルにおける混沌の伝播が保証されるか？
• RQ3 分数フィッシャー情報関数が $\Gamma$-下半連続であるか？ これにより、拡散支配状態における混沌の伝播が可能になるか？
• RQ4 公平な競合状況 $a = \alpha$ において、収束/一貫性結果を確立できるか？
• RQ5 初期質量は、分数系における大域的適切性および混沌の伝播にどのような役割を果たすか？

主な発見

• $\alpha \in (1,a)$ の場合、本稿は分数フィッシャー情報関数の $\Gamma$-下半連続性を証明することにより、完全な混沌の伝播を確立する。
• 粒子系の非線形PDEへの収束は、マルティングル法および緊密性推定を用いて証明される。
• 公平な競合状況 $a = \alpha$ において、臨界質量未満の条件下で収束/一貫性結果が確立され、古典的結果に類似している。
• 証明はモーメントバウンドおよび経験測度の弱収束に依存し、収束速度は $O((N-1)^{-(1-1/\kappa)})$（$\kappa \in (1,2)$）である。
• $\tilde{\mathcal{I}}_a$ が $\Gamma$-下半連続であることが示され、弱収束下での極限の安定性が保証される。
• 極限測度は $\tilde{\mathcal{I}}_a(\pi) = \theta \tilde{\mathcal{I}}_a(F) + (1-\theta)\tilde{\mathcal{I}}_a(G)$ を満たし、極限関数の一致性が確認される。