[논문 리뷰] Properties of the solution set of generalized polynomial complementarity problems

Liyun Ling, Chen Ling외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 02.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 34인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 다항식 보완문제(GPCP)를 소개하며, 텐서 보완문제(TCPs)와 다항식 보완문제(PCPs)를 통합하는 프레임워크를 제공한다. 텐서 구조를 활용하고 ER-텐서 쌍 조건을 도입함으로써, 비어 있지 않고 컴팩트한 해집합을 확립하며, 기존 TCP 및 PCP 문헌에서의 결과보다 향상된 전역 리프시츠 오차 bound를 유도한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the {\it generalized polynomial complementarity problem} (GPCP), which covers the recently introduced {\it polynomial complementarity problem} (PCP) and the well studied {\it tensor complementarity problem} (TCP) as special cases. By exploiting the structure of tensors, we first show that the solution set of GPCPs is nonempty and compact when a pair of leading tensors is cone {\bf ER}. Then, we study some topological properties of the solution set of GPCPs under the condition that the leading tensor pair is cone ${\bf R}_0$. Finally, we study a notable global Lipschitzian error bound of the solution set of GPCPs, which is better than the results obtained in the current PCPs and TCPs literature. Moreover, such an error bound is potentially helpful for finding and analyzing numerical solutions to the problem under consideration.

연구 동기 및 목표

• TCPs와 PCPs를 모두 일반화하는 일반화된 다항식 보완문제(GPCPs)를 위한 통합 프레임워크를 개발하는 것.
• 구조화된 텐서 조건 하에서 해집합의 존재성과 위상적 구조를 조사하는 것.
• 기존 TCP 및 PCP 문헌의 결과보다 더 낫게 개선된 전역 리프시츠 오차 bound를 GPCPs에 확립하는 것.
• ER-텐서 성질을 활용하여 해집합이 비어 있지 않고 컴팩트한 조건을 제공하는 것.
• TCP 및 PCP의 이론적 결과를 다항식 매핑을 갖는 보다 넓은 범위의 보완문제 클래스로 확장하는 것.

제안 방법

• 텐서 계수로 정의된 두 다항식 매핑 F(x)와 G(x)를 갖는 일반화된 보완문제(GCP)의 특수한 경우로 GPCP를 수식화하는 것.
• 주 텐서 쌍 (A^(1), B^(1))을 정의하고, 해집합의 비어 있지 않음과 컴팩트성을 보장하기 위해 ER-텐서 쌍 조건을 도입하는 것.
• R0-텐서와 ER-텐서 개념을 활용하여 锥 조건 하에서 해집합의 위상적 성질을 분석하는 것.
• 전역 오차 bound로 사용하기 위해 잔차 함수 r(x) = ||F(x)|| + ||G(x)|| + ||F(x) ⊙ G(x)||를 구성하는 것.
• ER-텐서 및 정규성 조건 하에서 점점 커지는 행동과 모순 증명을 분석함으로써 전역 리프시츠 오차 bound를 확립하는 것.
• 기존 TCP 및 PCP 문헌의 결과(예: ER-텐서는 비어 있지 않고 컴팩트한 해집합을 암시함)를 활용하여 주요 정리를 강화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GPCP의 해집합이 비어 있지 않고 컴팩트한 조건은 무엇인가요?
• RQ2 주 텐서 쌍의 위상적 성질이 GPCP의 해집합에 어떻게 영향을 미치나요?
• RQ3 TCP 및 PCP 문헌의 기존 결과보다 향상된 전역 리프시츠 오차 bound를 GPCPs에 확립할 수 있는가요?
• RQ4 주 텐서의 구조(예: ER-텐서, 정규성)가 해집합의 규칙성 확보에 어떤 역할을 하나요?
• RQ5 주어진 조건 하에서 잔차 함수 r(x)는 GPCPs의 전역 오차 bound로 어떻게 작용합니까?

주요 결과

• 주 텐서 쌍 (A^(1), B^(1))가 ER-텐서 쌍인 경우, GPCP(Λ, a, Θ, b, K)의 해집합은 비어 있지 않고 컴팩트하다.
• 주 텐서 쌍이 ER-텐서 쌍이고, m = l 이거나 A^(1)과 B^(1) 중 차수의 더 높은 텐서가 정규성일 경우, 전역 리프시츠 오차 bound r(x)가 확립된다.
• m > l 이고 A^(1)가 엄격하게 공백성일 경우, F와 해집합에 추가 조건이 만족되면 r(x)는 여전히 전역 리프시츠 오차 bound로 유지된다.
• 유도된 오차 bound r(x)는 이전 연구들보다 더 약한 가정에 기반하므로, 현재의 TCP 및 PCP 문헌에서의 기존 결과보다 더 낫다.
• 정리 5.7은 TCP(A, q)에 대해 A가 ER-텐서(또는 R-텐서)일 경우, 가정 5.2 하에서 r(x)가 전역 리프시츠 오차 bound임을 보여주며, 이는 이전 문헌에 기록되지 않은 결과이다.
• 증명 기법은 수열의 점점 커지는 행동을 분석하는 모순 증명에 기반하며, ER-텐서 가정 하에서 유계성이 모순됨을 보여주어, 결과적으로 해집합의 유계성과 컴팩트성을 증명한다.