[論文レビュー] Prophet secretary through blind strategies

José Correa, Raimundo Saona+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Auction Theory and Applications被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、インスタンスの固定関数に基づいて非増加のしきい値を設定する多閾値アルゴリズムの一種として、盲目的な分位数戦略を導入する。シュール凸性を用いた停止時刻分布の正確な分析により、著者たちは0.669の近似比を達成し、先行研究を改善し、この戦略クラスの理論的上限として0.675を確立する。

ABSTRACT

In the classic prophet inequality, a problem in optimal stopping theory, samples from independent random variables (possibly differently distributed) arrive online. A gambler that knows the distributions, but cannot see the future, must decide at each point in time whether to stop and pick the current sample or to continue and lose that sample forever. The goal of the gambler is to maximize the expected value of what she picks and the performance measure is the worst case ratio between the expected value the gambler gets and what a prophet, that sees all the realizations in advance, gets. In the late seventies, Krengel and Sucheston, and Garling [16], established that this worst case ratio is a constant and that 1/2 is the best possible such constant. In the last decade the theory of prophet inequalities has resurged as an important problem due to its connections to posted price mechanisms, frequently used in online sales. A particularly interesting variant is the so-called Prophet Secretary problem, in which the only difference is that the samples arrive in a uniformly random order. For this variant several algorithms are known to achieve a constant of 1 − 1/e and very recently this barrier was slightly improved by Azar et al. [3].In this paper we derive a way of analyzing multi-threshold strategies that basically sets a nonincreasing sequence of thresholds to be applied at different times. The gambler will thus stop the first time a sample surpasses the corresponding threshold. Specifically we consider a class of very robust strategies that we call blind quantile strategies. These constitute a clever generalization of single threshold strategies and consist in fixing a function which is used to define a sequence of thresholds once the instance is revealed. Our main result shows that these strategies can achieve a constant of 0.669 in the Prophet Secretary problem, improving upon the best known result of Azar et al. [3], and even that of Beyhaghi et al. [4] that works in the case the gambler can select the order of the samples. The crux of the analysis is a very precise analysis of the underlying stopping time distribution for the gambler's strategy that is inspired by the theory of Schur convex functions. We further prove that our family of blind strategies cannot lead to a constant better than 0.675.Finally we prove that no nonadaptive algorithm for the gambler can achieve a constant better than 0.732, which also improves upon a recent result of Azar et al. [3]. Here, a nonadaptive algorithm is an algorithm whose decision to stop can depend on the index of the random variable being sampled, on the value sampled, and on the time, but not on the history that has been observed.

研究の動機と目的

• 知られている1−1/eの障壁を超えて、頑健で非適応的な戦略を用いてプロフェット・セクレタリー問題の近似比を向上させること。
• 履歴に依存せずインスタンスにのみ依存する関数に基づく盲的な分位数関数を通じて、多閾値戦略を分析する一般的な枠組みを構築すること。
• プロフェット・セクレタリー設定における盲的な戦略および非適応的アルゴリズムの性能に対して、より鋭い上限を確立すること。
• シュール凸性理論の道具を用いて、これらの戦略の停止時刻分布を分析し、正確な性能保証を得ること。

提案手法

• インスタンスの実現後に固定関数を適用することで、非増加のしきい値の列を定義する盲的な分位数戦略を提案する。
• シュール凸関数の技術を用いてギャンブラーの停止時刻分布を分析し、期待報酬をプロフェットの報酬に対して上限付ける。
• 確率的優位性の議論を用いて、戦略の期待値を最適オフライン基準と比較することで性能保証を導出する。
• 戦略クラスの最悪インスタンスを特定することで、達成可能な近似比の上限を確立する。
• 非適応的アルゴリズムの制約を用いて、任意の非適応的戦略の性能に普遍的な上限0.732を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多閾値の盲的な戦略は、プロフェット・セクレタリー問題において1−1/eより良い近似比を達成できるか？
• RQ2 盲的な分位数戦略の最適達成性能は何か？ また、その近似比に理論的限界は存在するか？
• RQ3 これらの戦略の停止時刻分布は、プロフェットに対する期待性能にどのように影響するか？
• RQ4 任意の非適応的アルゴリズムがプロフェット・セクレタリー問題で達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ5 シュール凸性理論は、オンライン停止ルールの性能分析および上限付与に効果的に活用できるか？

主な発見

• 提案された盲的な分位数戦略は、プロフェット・セクレタリー問題において0.669の近似比を達成し、以前の最良結果を改善する。
• 分析により、任意の盲的な分位数戦略の性能に理論的上限0.675が存在することが示され、このクラス内でほぼ最適であることが示される。
• 本稿では、非適応的アルゴリズムが0.732より良い比を達成できないことを証明しており、Azarら[3]の最近の結果を改善する。
• 本手法の核心的貢献は、シュール凸性を用いた停止時刻分布の正確な分析であり、より鋭い性能上限の達成を可能にする。
• 頑健で非適応的な戦略が、履歴の観測に依存せずに強力な近似保証を達成できることを示す。