[論文レビュー] Pseudoholomorphic strips in Symplectisations III: Embedding properties and Compactness

Casim Abbas|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、3次元接触多様体のシンプレクティック化における、非交差する完全実部分多様体 L₀ と L₁ に境界条件を課した埋め込み擬全純ストリップの存在を示すために非線形Fredholm理論を確立する。主な貢献は、与えられたストリップの近傍で埋め込みストリップの族の存在を保証する十分条件を提示することであり、接触幾何におけるコード問題を解くために不可欠なコンパクト性と埋め込み性を実現する。

ABSTRACT

This paper is part of a larger program, the investigation of the chord problem in three dimensional contact geometry. The main tool will be pseudoholomorphic strips in the symplectisation of a three dimensional contact manifold with two totally real submanifolds L0, L1 as boundary conditions. The submanifolds L0 and L1 do not intersect transversally. In this paper we will develop a nonlinear Fredholm theory that guarantees the existence of a family of embedded pseudoholomorphic strips near a given one with suitable properties. c ○ 2003 Wiley

研究の動機と目的

• 3次元接触多様体のシンプレクティック化における擬全純ストリップのための非線形Fredholm理論の構築。
• 非横断的境界条件を課した埋め込み擬全純ストリップを用いて、3次元接触幾何におけるコード問題に取り組む。
• 適切な幾何的・解析的性質を備えた、与えられたストリップの近傍における埋め込みストリップ族の存在を保証する。
• シンプレクティックおよび接触トポロジーへの応用に不可欠なコンパクト性と埋め込み性を確立する。

提案手法

• 3次元接触多様体のシンプレクティック化における主要な幾何的対象として擬全純ストリップを用いる。
• 交差が横断的でない2つの完全実部分多様体 L₀ と L₁ に境界条件を課す。
• 与えられた擬全純ストリップの近傍での解の挙動を制御するために非線形Fredholm理論を適用する。
• 正則性および横断性の条件を確立し、基準解の近傍における埋め込み解の存在を保証する。
• 境界条件の非横断的交わりを扱うために、シンプレクティック場理論からの解析的技術を用いる。
• バナッハ空間における陰関数定理の議論に依拠し、埋め込みストリップの1パラメータ族を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L₀ と L₁ に非横断的境界条件を課した擬全純ストリップがシンプレクティック化に埋め込み可能となる条件は何か？
• RQ2 与えられた解の近傍で埋め込み解の存在を保証する非線形Fredholm理論をどのように構築できるか？
• RQ3 非横断的境界条件を有する擬全純ストリップにおいて、どのようなコンパクト性が保たれるか？
• RQ4 このようなストリップの埋め込み性および正則性の性質が、3次元接触幾何におけるコード問題の解決にどのように寄与するか？
• RQ5 どのような解析的枠組みが、小さな摂動のもとでの埋め込みストリップの安定性と保存性を保証するか？

主な発見

• 与えられたストリップの近傍で埋め込み擬全純ストリップの族の存在を保証する非線形Fredholm理論が、成功裏に構築された。
• 理論により、L₀ と L₁ に非横断的境界条件を課した擬全純ストリップの埋め込み性と適切な正則性が保証された。
• 構築された枠組みのもとでコンパクト性の性質が保たれ、シンプレクティックトポロジーにおける極限議論の応用が可能になった。
• 本手法により、擬全純曲線論における境界部分多様体の非横断的交わりを体系的に扱う方法が提供された。
• 結果として、3次元接触幾何におけるコード問題を解くための基礎的解析的枠組みが確立された。