[論文レビュー] Pseudorandom number generation by p-adic ergodic transformations: an addendum

Vladimir Anashin|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2004

advanced mathematical theories参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$p$-adic エルゴディック変換の理論を多変量擬似乱数生成器へと拡張し、$\mathbb{Z}_2$ 上の単変量エルゴディック写像を体系的に $m$ 変量形式に変換することで、性能および暗号的性質の向上を示している。主な貢献は、共役写像およびワイヤープロダクト技術を用いて、サイクル構造が改善され、出力列が等確率となるカウンタ依存型生成器を構築するフレームワークを提供することである。

ABSTRACT

The paper study counter-dependent pseudorandom number generators based on $m$-variate ($m>1$) ergodic mappings of the space of 2-adic integers $\Z_2$. The sequence of internal states of these generators is defined by the recurrence law $\mathbf x_{i+1}= H^B_i(\mathbf x_i)\bmod{2^n}$, whereas their output sequence is %while its output sequence is of the $\mathbf z_{i}=F^B_i(\mathbf x_i)\mod 2^n$; here $\mathbf x_j, \mathbf z_j$ are $m$-dimensional vectors over $\Z_2$. It is shown how the results obtained for a univariate case could be extended to a multivariate case.

研究の動機と目的

• 単変量から多変量 $m$ 次元写像へのカウンタ依存型擬似乱数生成器の一般化を、$\mathbb{Z}_2$ 上で行う。
• 一対一の符号化 $B$ を用いて、単変量の互換性およびエルゴディック性を持つ写像から $m$ 変量の適合可能かつエルゴディックな写像を体系的に導出する方法を確立する。
• $n$ ビット単一サイクル置換を $(n+K)$ ビット単一サイクル置換に上昇させることで、$(n+K)$ ビット語上で単一サイクル置換を有する多変量生成器を構築することを可能にする。
• 多変量表現を活用して、線形および $2$-adic スパン、$k$-タプル分布といった暗号的特性を向上させる。

提案手法

• 列方向ビットインタリーブを用いて、$m$ 個の $2$-adic 整数の $m$-タプルを単一の $2$-adic 整数に符号化する一対一写像 $B: (\mathbb{Z}_2)^{(m)} \to \mathbb{Z}_2$ を定義する。
• $(\mathbb{Z}_2)^{(m)}$ 上で共役写像 $H^B = B^{-1} \circ H \circ B$ を構築し、$H$ がエルゴディックであれば、エルゴディック性および適合性を保持する。
• 文献[1]のエルゴディック性基準を用いる——具体的には、$\varphi_i^T$ が奇数の重みかつ次数 $i$ を持つこと——ことで、$H^B$ がエルゴディックであることを保証する。
• ワイヤープロダクト技術を活用して、$n$ ビット置換の単一サイクル構造を $(n+K)$ ビット置換の単一サイクル構造に上昇させる。
• $H_i^B$ をもとに出力関数 $F_i^B$ を設計し、周期が延長され、統計的性質が向上した列を生成する。
• $2$-adic 分析および一様微分可能近似を用いて、等確率性や置換行動といった性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単変量 $p$-adic エルゴディック写像を、エルゴディック性および適合性を保ちつつ、体系的に多変量 $m$ 次元写像に変換する方法は何か？
• RQ2 単変量写像 $H$ が $\mathbb{Z}_2$ 上でエルゴディックであるとき、$(\mathbb{Z}_2)^{(m)}$ 上の共役写像 $H^B$ がエルゴディックであるための条件は何か？
• RQ3 多変量表現およびワイヤープロダクト技術を用いて、$n$ ビット置換のサイクル構造を $(n+K)$ ビット置換に上昇させることは可能か？
• RQ4 多変量表現は、出力列における線形および $2$-adic スパン、$k$-タプルの分布にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $2$-adic 分析および導関数に基づく手法を用いて、多変量 $T$-関数における等確率性および置換性をどの程度まで検証できるか？

主な発見

• 共役写像 $H^B$ が $(\mathbb{Z}_2)^{(m)}$ 上で適合およびエルゴディックであるための必要十分条件は、元の単変量写像 $H$ が $\mathbb{Z}_2$ 上でエルゴディックであることである。このとき、主要な暗号的性質が保持される。
• 多変量表現により、$n$ ビット語上で単一サイクルを有する $T$-関数を構築でき、[7] における例で示されているように、長周期生成器の実現が可能になる。
• 本手法により、$n$ ビット置換の単一サイクルを $(n+K)$ ビット置換の単一サイクルに上昇させることができ、生成器における最大周期を保証する。
• $F_i^B$ を用いて生成された出力列は、$k$-タプルの均等分布や延長された線形および $2$-adic スパンといった良好な統計的性質を継承する。
• $2$-adic 導関数および一様微分可能近似の使用により、多変量 $T$-関数における等確率性および置換行動を検証する厳密なフレームワークが提供される。
• 本フレームワークは、エルゴディック理論的原則および $p$-adic 継続性に基づいて、証明可能な暗号的強度を持つカウンタ依存型生成器の設計を可能にする。