[論文レビュー] Pulsating fronts for Fisher-KPP systems with mutations as models in evolutionary epidemiology

Matthieu Alfaro, Quentin Griette|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 43被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、突然変異を伴う感染症の進化的な伝播をモデル化する周期的反応拡散系に対して、2つの病原体株が不均一な環境で競争する場合の脈動的前波（pulsating fronts）の構築を行う。非線形項に相互競争が存在するため比較原理が成立しないにもかかわらず、分岐理論を用いて非自明な定常状態の存在を確立し、位相的方法と勾配推定を用いて脈動的前波の存在を証明している。

ABSTRACT

We consider a periodic reaction diffusion system which, because of competition between $u$ and $v$, does not enjoy the comparison principle. It also takes into account mutations, allowing $u$ to switch to $v$ and vice versa. Such a system serves as a model in evolutionary epidemiology where two types of pathogens compete in a heterogeneous environment while mutations can occur, thus allowing coexistence.We first discuss the existence of nontrivial positive steady states, using some bifurcation technics. Then, to sustain the possibility of invasion when nontrivial steady states exist, we construct pulsating fronts. As far as we know, this is the first such construction in a situation where comparison arguments are not available.

研究の動機と目的

• 突然変異を伴う病原体の競合をモデル化する周期的反応拡散系における非自明な正の定常状態の存在を分析すること。
• 競合と突然変異が存在する中で、両方の病原体株が不均一な環境において共存可能な条件を特定すること。
• 定常状態が存在する場合に、周期的構造を示す移動波に類似した解（脈動的前波）の存在を確立すること。
• 通常の存在技法に必要な比較原理が欠如する系において、このような前波を構築するための枠組みを構築すること。
• 空間的に不均一な環境における進化的ダイナミクスを記述する数学的モデルを提供すること。これは宿主-病原体相互作用や感染症の拡散に関連する。

提案手法

• 線形化作用素の主固有値を分岐パラメータとして取り入れ、分岐理論を用いて非自明な定常状態の存在を分析する。
• $u$ と $v$ 間の相互競争による比較原理の欠如を回避するため、位相的デグリー論法を用いて脈動的前波を構築する。
• 2段階のホモトピー法を用いる：まず系を協同的系に変形し、その後元の系に回復する。この過程で一様な事前推定を用いる。
• 楕円型系に対するBernstein型内部勾配推定を適用し、ホモトピー過程における解の挙動を制御する。
• 有界領域における解の減衰・増大を制御するため、ハルナック不等式およびディリクレ・周期的主固有値推定を用いる。
• ディリクレ問題の主固有値と周期的問題の主固有値を比較するためのレイリー商の議論を用い、$R \to \infty$ のときの収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 突然変異と競合が存在する系において、非自明な正の定常状態が存在する条件は何か？
• RQ2 相互競争により比較原理が欠如する反応拡散系において、脈動的前波はどのように構築可能か？
• RQ3 絶滅状態 $(0,0)$ における線形化作用素の主固有値は、侵入の可能性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 突然変異率と環境の不均一性は、病原体株の共存および拡散にどのように影響するか？
• RQ5 古典的な単調性技法が失敗する系において、位相的方法と勾配推定を用いて前波を構築できるか？

主な発見

• 線形化作用素の主固有値が正である限り、分岐解析により非自明な正の定常状態が存在することが示された。
• 比較原理が存在しない状況下でも、非自明な定常状態が存在する限り、脈動的前波の存在が証明された。
• 位相的および変分的技法を用いて定常状態に対する一様な事前推定を導出し、パrameterに依存しない一様な境界を保証した。
• 区間 $(-R,R)$ におけるディリクレ問題の主固有値は、$R \to \infty$ のとき周期的主固有値に収束し、誤差は $C/R$ で抑えられる。
• ホモトピー法により、系を協同的系に変形し、一様な推定を用いて解を追跡することで、解の構築に成功した。
• Bernstein型勾配推定により、解の空間的変動が制御され、前波構築におけるコンパクトネスの議論に不可欠な役割を果たした。