[論文レビュー] Pure N=2 Super Yang-Mills and Exact WKB

Amir-Kian Kashani-Poor, Jan Troost|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、純粋な ${\cal N}=2$ 超ヤン・ミルズ理論の $\epsilon_1$-変形領域において、正確な WKB 法を分配関数に適用し、インスタントン数と $\epsilon_1$ 展開の間で和の順序を逆転させることによって生じる形 $\sim \exp[-\mathrm{SW\, periods}/\epsilon_1]$ の非摂動的補正を明らかにした。これらの補正は、ワールドーシート記述に起因するものであると予想され、マチウ方程式の複素パラメータを用いたストークス図と特徴的指数の解析によって計算された。

ABSTRACT

We apply exact WKB methods to the study of the partition function of pure N=2 epsilon_i-deformed gauge theory in four dimensions in the context of the 2d/4d correspondence. We study the partition function at leading order in epsilon_2/epsilon_1 (i.e. at large central charge) and in an expansion in epsilon_1. We find corrections of the form ~ exp[- SW periods / epsilon_1] to this expansion. We attribute these to the exchange of the order of summation over gauge instanton number and over powers of epsilon_1 when passing from the Nekrasov form of the partition function to the topological string theory inspired form. We conjecture that such corrections should be computable from a worldsheet perspective on the partition function. Our results follow upon the determination of the Stokes graphs associated to the Mathieu equation with complex parameters and the application of exact WKB techniques to compute the Mathieu characteristic exponent.

研究の動機と目的

• 純粋な ${\cal N}=2$ 超ヤン・ミルズ理論におけるインスタントン分配関数の $\epsilon_1$-展開における非摂動的補正を理解すること。
• 分配関数の $\epsilon_1$-展開において、$\sim \exp[-\mathrm{SW\, periods}/\epsilon_1]$ の形をとる非摂動的補正の起源を特定すること。
• 2次元／4次元対応を介して、これらの補正を位相的弦理論のワールドーシート記述と結びつけること。
• 複素パラメータをもつマチウ方程式に対して、正確な WKB 技法（ストークス図とボロス乗数を含む）を用いて特徴的指数を計算すること。
• 微小 $\epsilon$ 界隈における摂動的 WKB の破綻を明確にし、ヒル法や行列式の手法による数値手法と照合して妥当性を検証すること。

提案手法

• 2次元 CFT から導かれるノルムベクトル分離方程式に正確な WKB 法を適用し、複素パラメータをもつマチウ方程式に写像すること。
• マチウ方程式のストークス図を構築し、波動関数の非摂動的補正および不連続性を解析すること。
• WKB摂動論を4次まで適用し、特徴的指数を計算し、数値結果と比較すること。
• ヒル法と三重対角行列式の行列式を用いて、行列サイズに線形に比例するスケーリングで特徴的指数を数値的に計算すること。
• マチウ方程式の再帰関係から生じる三重対角行列の行列式 $\Delta(0)$ に対する線形再帰関係の実装。
• Mathematica の組み込みアルゴリズムと WKB および数値結果を比較し、微小 $\epsilon$ 界隈における信頼性を評価し、その限界を明らかにした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純粋な ${\cal N}=2$ 超ヤン・ミルズ理論におけるインスタントン分配関数の $\epsilon_1$-展開に、どのような非摂動的補正が生じるか？
• RQ2 インスタントン数の和よりも $\epsilon_1$ のべき乗の和を先に処理する場合、なぜ $\sim \exp[-\mathrm{SW\, periods}/\epsilon_1]$ の形の補正が現れるのか？
• RQ3 複素パラメータをもつマチウ方程式のストークス図を用いて、特徴的指数への非摂動的補正をどのように計算できるか？
• RQ4 微小 $\epsilon$ 界隈において、Mathematica の数値アルゴリズムと WKB 摂動論との間に生じる乖離の原因は何か？
• RQ5 $\epsilon_i$-変形理論のワールドーシート解釈は、自然にこれらの非摂動的補正を説明できるか？

主な発見

• インスタントン数と $\epsilon_1$ のべき乗の和の順序を逆転させることによって生じる、$\sim \exp[-\mathrm{SW\, periods}/\epsilon_1]$ の形の非摂動的補正が、分配関数展開において特定された。
• 複素パラメータをもつマチウ方程式の特徴的指数は、正確な WKB を用いて計算され、$u = \pm 1$ の特異点においてストークス現象とボロス乗数のジャンピング行動が明らかになった。
• ヒル法と三重対角行列式の再帰関係を用いた数値的検証により、4次までの WKB 摂動論が数値結果と高い精度で一致することが確認されたが、Mathematica のアルゴリズムは微小 $\epsilon$ 界隈で失敗した。
• $\Delta(0)$ は特徴的指数を決定づけるが、行列サイズに線形に比例するコストで効率的に計算可能な線形再帰関係を満たす。
• $\epsilon = 10^{-2}$、$u = 6e^{i\pi/8}$ の場合、WKB 近似で得られた値は $301.757 - 1507.262i$ であり、数値結果と高い精度で一致した。一方、Mathematica は $301.347 - 1507.309i$ を返し、虚部に $2\pi i$ のオーダーの乖離が生じていた。
• 本研究により、$\epsilon_1$-展開された分配関数と位相的弦理論との間のリンクが 2d/4d 対応を介して確立され、これらの補正がワールドーシート的視点から計算可能であることが示唆された。