[論文レビュー] Quadratic Exponential Semimartingales and Application to BSDEs with jumps

Nicole El Karoui, Anis Matoussi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、跳躍付きの後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）と非有界端末条件に対する存在結果を確立するために、新しいクラスの2次指数型半マルチンゲールを導入する。BarrieuとEl Karouiの枠組みを跳躍拡散モデルへ拡張することで、指数型跳躍係数を含む一般化された2次成長条件のもとで、双対表現および比較定理を用いて存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of Quadratic Backward Stochastic Differential Equations (QBSDE in short) with jumps and unbounded terminal condition. We extend the class of quadratic semimartingales introduced by Barrieu and El Karoui (2013) in the jump diffusion model. The properties of these class of semimartingales lead us to prove existence result for the solution of a quadratic BSDEs.

研究の動機と目的

• 端末条件が非有界である場合の跳躍付き2次BSDEに対する存在結果の欠如に対処する。
• BarrieuとEl Karouiの連続的ケースにインspiredされ、跳躍成分を含む2次半マルチンゲールのクラスを拡張する。
• 指数型跳躍項を含む一般化された2次成長条件のもとで解の存在を確立する。
• q_exp(l,c,δ)構造条件を用いて、解の前向き的特徴付けを提供する。
• 双対表現および比較定理を用いて、解の成長を制御し、収束を保証する。

提案手法

• 解の駆動関数fがzおよびuに関して指数型表現で有界であると仮定するq_exp(l,c,δ)構造条件を定義する。
• j(δu)が指数型跳躍行動を捉えるように、標準生成子f(t,y,z,u) = (δ/2)|z|² + (1/δ)j(δu)を導入する。
• エントレピー過程ρ_δ,t(η_T) = (1/δ)E[exp(δη_T)|F_t]を、標準BSDEの解として用いる。
• 局所マルティンゲール測度上の最適化を用いた双対表現により、解の上界を求める。
• リプシッツ設定における切断および比較定理を用いて、近似列(Y^{n,m})を構築する。
• 指数不等式を活用し、q_exp構造下での一様可積分性および安定性を示すことにより、収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 端末条件が非有界である場合に、跳躍付き2次BSDEの解の存在を確立できるか？
• RQ2 駆動関数における指数型跳躍成分を含む2次成長条件をどのように拡張できるか？
• RQ3 跳躍および非有界端末データが存在する状況で、解の存在を保証する構造条件は何か？
• RQ4 双対表現法を跳躍拡散設定に適応し、解の成長を制御できるか？
• RQ5 標準生成子f = (δ/2)|z|² + (1/δ)j(δu)は、解の構築においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿では、q_exp(l,c,δ)構造条件のもとで、跳躍付きで非有界端末条件をもつ2次BSDEの解の存在を確立する。
• 解は、連続的ケースから跳躍過程へ拡張された2次指数型半マルチンゲールとして特徴付けられる。
• エントレピー過程ρ_δ,t(η_T)は、生成子f(t,y,z,u) = (δ/2)|z|² + (1/δ)j(δu)をもつ標準BSDEの解を提供する。
• 局所マルティンゲール測度上の最適化を用いた双対表現により、解の上界が得られ、一様可積分性が保証される。
• 切断された近似（Y^{n,m}）に比較定理を適用し、安定性を用いて収束および存在を証明する。
• 解は不等式Y^{n,m}_σ ≥ ρ_σ[S^c_σ,T |ξ_T| + ∫_σ^T S^c_σ,s |l_s| ds]を満たし、エントレピー期待値による制御が示される。