[论文解读] Quadric rank loci on moduli of curves and K3 surfaces

Gavril Farkas, Richárd Rimányi|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文利用局部化 Atiyah-Bott 公式，为对称双线性丛态射的核包含指定秩的二次曲面时的退化点集的上同调类建立了一个通用公式。关键贡献在于以陈类表示此类点集类的闭合公式，从而实现了在曲线和 K3 曲面模空间上显式构造有效除子，包括 Hurwitz 空间上的典范除子以及 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上的 Petri 除子。该方法在模空间理论中提供了新证明与新公式，尤其适用于 Noether-Lefschetz 除子与 K3 模空间上的 Hodge 类。

ABSTRACT

Given two vector bundles E and F on a variety X and a morphism from Sym^2(E) to F, we compute the cohomology class of the locus in X where the kernel of this morphism contains a quadric of prescribed rank. Our formulas have many applications to moduli theory: (i) we find a simple proof of Borcherds' result that the Hodge class on the moduli space of polarized K3 surfaces of fixed genus is of Noether-Lefschetz type, (ii) we construct an explicit canonical divisor on the Hurwitz space parametrizing degree k covers of the projective line from curves of genus 2k-1, (iii) we provide a closed formula for the Petri divisor on the moduli space of curves consisting of canonical curves which lie on a rank 3 quadric and (iv) construct myriads of effective divisors of small slope on M_g.

研究动机与目标

• 计算在代数簇中，对称双线性丛态射的核包含指定秩二次曲面的点集的上同调类。
• 将此公式应用于模空间理论中的经典问题，特别是关于曲线与 $K3$ 曲面模空间上除子的问题。
• 为 Hurwitz 空间上的典范除子以及 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上的 Petri 除子提供显式、闭合形式的表达式，以及小斜率的有效除子。
• 为 Borcherds 的结果提供一种新的、直接的证明：极化 $K3$ 曲面模空间上的 Hodge 类属于 Noether-Lefschetz 类型。
• 确立曲线位于其典范嵌入下秩为 4 的二次曲面上的点集的除子的存在性，并计算其类。

提出的方法

• 作者使用局部化 Atiyah-Bott 类型公式，以 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{F}$ 的陈类表示，计算了对称态射 $\phi: \mathrm{Sym}^2(\mathcal{E}) \to \mathcal{F}$ 的核包含至少 $r$ 阶余秩二次曲面的退化点集的上同调类。
• 当该点集预期为除子时，推导出简化公式：$[\overline{\Sigma}^r_{e,f}(\phi)] = A_e^r \left( c_1(\mathcal{F}) - \frac{2f}{e}c_1(\mathcal{E}) \right)$，其中 $f = \binom{e+1}{2} - \binom{r+1}{2}$。
• 通过在全族上利用对称态射核的结构，将该公式应用于 $K3$ 曲面模空间，以实现 Hodge 类作为 Noether-Lefschetz 除子的表示。
• 对于参数化从亏格为 $2k-1$ 的曲线到 $\mathbb{P}^1$ 的 $k$ 次覆盖的 Hurwitz 空间，通过构造 canonical bundle 位于秩 3 二次曲面上的点集，显式构造了一个典范除子。
• 利用定理 1.1 的公式，定义并计算了在典范嵌入下位于秩 4 二次曲面上的曲线的除子 $\overline{\mathfrak{H}}_{k}^{\mathrm{rk}4}$ 的类。
• 验证该除子类为有效类，并在紧化 Hurwitz 空间 $\widetilde{\mathcal{H}}_k$ 上，以 $\lambda$、$\gamma$ 和边界除子 $[D_0]$ 表示其表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以陈类显式计算对称丛态射的核包含指定秩二次曲面的点集的上同调类？
• RQ2 极化 $K3$ 曲面模空间中 genus $g$ 的 Hodge 类是否支持于 Noether-Lefschetz 除子上？能否通过退化点集公式证明这一点？
• RQ3 能否在参数化从亏格为 $2k-1$ 的曲线到 $\mathbb{P}^1$ 的 $k$ 次覆盖的 Hurwitz 空间上显式构造一个典范除子？
• RQ4 在模空间 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 中，由位于其典范嵌入下秩为 4 的二次曲面上的曲线构成的除子的类是什么？
• RQ5 位于有界秩二次曲面上的曲线点集是否在 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上产生小斜率的有效除子？

主要发现

• 本文为核包含至少 $r$ 阶余秩二次曲面的点集的上同调类提供了通用公式，表达式为 $[\overline{\Sigma}^r_{e,f}(\phi)] = A_e^r \left( c_1(\mathcal{F}) - \frac{2f}{e}c_1(\mathcal{E}) \right)$，其中 $f = \binom{e+1}{2} - \binom{r+1}{2}$。
• 通过该公式，证明了极化 $K3$ 曲面模空间中 genus $g$ 的 Hodge 类 $\lambda$ 属于 Noether-Lefschetz 类型，从而为 Borcherds 的结果提供了新的、直接的证明。
• 在参数化 $k$ 次覆盖 $\mathbb{P}^1$ 的亏格为 $2k-1$ 的曲线的 Hurwitz 空间 $\mathcal{H}_k$ 上，通过构造 canonical bundle 位于秩 3 二次曲面上的点集，显式构造了一个典范除子。
• 利用退化点集方法，为 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上位于秩 3 二次曲面上的典范曲线的 Petri 除子给出了闭合公式。
• 在典范嵌入下位于秩 4 二次曲面上的亏格为 $2k-1$ 的曲线的除子 $\overline{\mathfrak{H}}_{k}^{\mathrm{rk}4}$ 的类为 $[\overline{\mathfrak{H}}_{k}^{\mathrm{rk}4}] = A_k^{k-4} \left( \frac{5k+12}{k}\lambda + \frac{k-6}{k}\gamma - [D_0] \right)$，在 $\widetilde{\mathcal{H}}_k$ 上成立，其中 $A_k^{k-4}$ 为已知的组合系数。
• 该方法在 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上产生了大量小斜率的有效除子，包括当 $k \geq 12$ 时，$7\lambda - \delta_0$ 为大类，且包含不包含 Brill-Noether 点集像的有效除子。