[論文レビュー] Qualitative graph limit theory. Cantor Dynamical Systems and Constant-Time Distributed Algorithms

Gábor Elek|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Graph theory and applications参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、スパースグラフに対する定性的グラフ極限理論を確立し、自由カントール作用の弱同値類を極限対象として導入し、準有限性をハイパーファイニットネスの定性的な類似物として定義する。弱同値類の空間のコンパクト性を証明し、準有限および強く準有限なグラフクラスにおける近似問題の定時間分散アルゴリズムを構成する。さらに、このような系列におけるスペクトル収束結果も得る。

ABSTRACT

The goal of the paper is to lay the foundation for the qualitative analogue of the classical, quantitative sparse graph limit theory. In the first part of the paper we introduce the qualitative analogues of the Benjamini-Schramm and local-global graph limit theories for sparse graphs. The natural limit objects are continuous actions of finitely generated groups on totally disconnected compact metric spaces. We prove that the space of weak equivalent classes of free Cantor actions is compact and contains a smallest element, as in the measurable case. We will introduce and study various notions of almost finiteness, the qualitative analogue of hyperfiniteness, for classes of bounded degree graphs. We prove the almost finiteness of a new class of étale groupoids associated to Cantor actions and construct an example of a nonamenable, almost finite totally disconnected étale groupoid, answering a query of Suzuki. Motivated by the notions and results on qualitative graph limits, in the second part of our paper we give a precise definition of constant-time distributed algorithms on sparse graphs. We construct such constant-time algorithms for various approximation problems for hyperfinite and almost finite graph classes. We also prove the Hausdorff convergence of the spectra of convergent graph sequences in the strongly almost finite category.

研究の動機と目的

• 有界次数グラフに焦点を当て、定量的スパースグラフ極限理論の定性的類似物を構築すること。
• スパースグラフの極限対象として、自由カントール作用の弱同値類を定義し、それらを研究すること。
• グラフ理論におけるハイパーファイニットネスの定性的類似物として、準有限性を導入し、分析すること。
• ハイパーファイニットおよび準有限なグラフクラスにおける近似問題のための定時間分散アルゴリズムを定義すること。
• 強く準有限なグラフ系列におけるスペクトルのハウスドルフ収束を証明すること。

提案手法

• グラフ内の根付きボールのナチュラル収束を用いて、定性的グラフ極限を定義し、ベンジャミニ＝シュラムの収束を一般化する。
• 極限対象を、完全に不連結なコンパクト距離空間（カントール空間）への、有限生成群の連続的作用としてモデル化する。
• 安定作用と幾何的エタール群体を用いて準有限性を定義し、ハイパーファイニットネスを一般化する。
• 局所的構成（A型およびB型アルゴリズム）を用いた分散アルゴリズムフレームワークを適用し、分割と近似解を構築する。
• フラクタル構成と再帰的ボール被覆を用いて、ドゥーブルインググラフにおける強いつまりの準有限性を達成する。
• スペクトル解析と $(\varepsilon, K_\varepsilon)$-分割を用いて、強く準有限なカテゴリーにおけるスペクトルのハウスドルフ収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースグラフにおけるベンジャミニ＝シュラム収束の定性的類似物は何か。その極限対象は何か。
• RQ2 カントール作用とエタール群体の文脈において、準有限性はどのように定義され、特徴づけられるか。
• RQ3 準有限グラフクラスにおける近似問題のための定時間分散アルゴリズムを構築できるか。
• RQ4 自由カントール作用の弱同値類の空間はコンパクトであり、最小元を含むか。
• RQ5 強く準有限なグラフ系列のスペクトルは、ハウスドルフ距離において収束するか。

主な発見

• 自由カントール作用の弱同値類の空間はコンパクトであり、測度的ケースに類似した最小元を含む。
• カントール作用に関連するエタール群体の新たなクラスが準有限であることが証明され、既知の準有限系のクラスを拡張する。
• 非アメニタリーで、かつ準有限な完全に不連結なエタール群体が構成され、スズキの問いに答えを提示する。
• 準有限グラフクラスにおいて、最大独立集合、最大マッチング、重み付き独立部分集合の近似問題のための定時間分散アルゴリズムが構築される。
• 強く準有限なグラフ系列に対して、スペクトルがハウスドルフ距離において収束することが保証され、スペクトル安定性が確立される。
• D-ドゥーブルインググラフのクラスが強く準有限であることが示され、局所的サブルーチンを用いた強いつまりの準有限性のための分散アルゴリズムが構築される。