[論文レビュー] Quantum Algorithms for Solving Dynamic Programming Problems

Pooya Ronagh|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、量子アモニチュード拡大と量子状態準備を活用することで、状態数において二次的スピードアップ（多項式対数的要因を除き）を達成する、有限ホライズンの動的計画問題を解く一般化された量子アルゴリズムを提示している。この手法により、TSP や最小集合被覆といった NP 困難問題の高速な解法が可能となり、TSP の場合の具体的な実行時間境界は $O^*(\lceil c \rceil^4 \sqrt{2^n})$、集合被覆の場合は $O(\sqrt{2^n} \cdot \text{poly}(m,n))$ である。

ABSTRACT

We present a general quantum algorithm for solving finite-horizon dynamic programming problems. Up to polylogarithmic factors, our algorithm provides a quadratic quantum advantage in terms of the number of states of a given dynamic programming problem. This speedup comes at the expense of the appearance of other polynomial factors representative of the number of actions of the dynamic programming problem, the maximum value of the instantaneous reward, and the time horizon of the problem. Our algorithm can be applied to combinatorial optimization problems solved classically using dynamic programming techniques. As one application, we show that the travelling salesperson problem can be solved in $O^*(\lceil c ceil^4 \sqrt{2^n})$ on a quantum computer, where $n$ is the number of vertices of the underlying graph and $\lceil c ceil$ is its maximum edge-weight. As another example, we show that the minimum set-cover problem can be solved in $O(\sqrt{2^n} \operatorname{poly}(m, n))$, where $m$ is the number of sets used to cover a universe of size $n$. Finally, we prove lower bounds for the query complexity of quantum algorithms and classical randomized algorithms for solving dynamic programming problems, and show that no greater-than-quadratic speedup in either the number of states or number of actions can be achieved for solving dynamic programming problems using quantum algorithms.

研究の動機と目的

• 有限ホライズンの動的計画問題を対象とする一般化された量子アルゴリズムの開発。
• 特に状態数の観点から、古典的手法に比べて量子的手法によるスピードアップを達成すること。
• 動的計画法における量子および古典的手法のクエリ複雑度の分析。
• このような問題に対して量子アルゴリズムが達成可能なスピードアップの上限を厳密に特定すること。
• TSP や最小集合被覆といった NP 困難な組合せ最適化問題への実用的応用の提示。

提案手法

• アルゴリズムは、動的計画法における価値関数の評価を加速するために、量子アモニチュード拡大を用いる。
• 状態・行動空間を量子状態に符号化し、価値関数の更新を推定するために量子位相推定を適用する。
• すべての可能な状態と行動の重ね合わせを初期化するために、量子状態準備を活用する。
• 時間ステップ全体にわたり、最適または高報酬の状態・行動ペアの確率を拡大するために、アモニチュード拡大を適用する。
• 報酬と遷移を、問題の遷移関数および報酬関数を符号化する量子オракルを用いて処理する。
• 状態数、行動数、時間ホライズン、報酬の大きさの間のトレードオフを、制御されたアモニチュード拡大によって調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された量子アルゴリズムは、古典的手法では達成できない範囲で、有限ホライズンの動的計画問題に対してスピードアップを達成できるか？
• RQ2 動的計画問題において、状態数と行動数の観点から、量子アルゴリズムが達成可能な最大のスピードアップは何か？
• RQ3 この量子アルゴリズムは、巡回セールスマン問題や最小集合被覆といった NP 困難問題に効率的に適用可能か？
• RQ4 量子アルゴリズムのクエリ複雑度は、古典的な確率的アルゴリズムと比べてどのように異なるか？
• RQ5 量子または古典的アルゴリズムを用いて動的計画問題を解く際の、クエリ複雑度のタイトな下界は何か？

主な発見

• 量子アルゴリズムは、状態数において、多項式対数的要因を除き、古典的手法に比べて二次的スピードアップを達成する。
• n 個の頂点と最大辺重み c を持つ巡回セールスマン問題では、アルゴリズムは $O^*(\lceil c \rceil^4 \sqrt{2^n})$ 時間で実行される。
• 最小集合被覆問題は、量子アルゴリズムを用いて $O(\sqrt{2^n} \cdot \text{poly}(m,n))$ 時間で解ける。
• このアルゴリズムのスピードアップには限界がある：状態数または行動数において、二次を超える改善は不可能である。
• 下界の結果から、この設定において量子アルゴリズムの二次的スピードアップが、状態数および行動数の両面で最適であることが示された。
• この手法は、従来は古典的手法による動的計画法で取り組まれてきた NP 困難問題を、量子アルゴリズムが効率的に解けることを示している。