[論文レビュー] Quantum algorithms for zero-sum games

Joran van Apeldoorn, András Gilyén|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、量子ギブスサンプリングを用いて、2人零和ゲームにおける近似ナッシュ均衡を計算するための量子アルゴリズムを提示する。クエリ複雑度が非線形である。密度行列とスパース行列に対して、それぞれ$\tilde{O}(σn+m/ε^3)$および$\tilde{O}(√s/ε^{3.5})$のクエリ複雑度を達成し、誤差とスパarsity依存性が改善された量子線形計画法ソルバーへと拡張される。

ABSTRACT

We derive sublinear-time quantum algorithms for computing the Nash equilibrium of two-player zero-sum games, based on efficient Gibbs sampling methods. We are able to achieve speed-ups for both dense and sparse payoff matrices at the cost of a mildly increased dependence on the additive error compared to classical algorithms. In particular we can find $\varepsilon$-approximate Nash equilibrium strategies in complexity $ ilde{O}(\sqrt{n+m}/\varepsilon^3)$ and $ ilde{O}(\sqrt{s}/\varepsilon^{3.5})$ respectively, where $n imes m$ is the size of the matrix describing the game and $s$ is its sparsity. Our algorithms use the LP formulation of the problem and apply techniques developed in recent works on quantum SDP-solvers. We also show how to reduce general LP-solving to zero-sum games, resulting in quantum LP-solvers that have complexities $ ilde{O}(\sqrt{n+m}γ^3)$ and $ ilde{O}(\sqrt{s}γ^{3.5})$ for the dense and sparse access models respectively, where $γ$ is the relevant "scale-invariant" precision parameter

研究の動機と目的

• 2人零和ゲームにおける近似ナッシュ均衡を、非線形クエリ複雑度で計算する量子アルゴリズムの開発。
• 従来の量子SDPベースの手法と比較して、量子線形計画法ソルバーにおける誤差およびスパarsity依存性の低減。
• スケールパラメータに依存せずに、行列ゲームに対して量子高速化を達成できることの実証。実用的応用性の向上。
• 一般線形計画問題をゼロ和ゲームに還元する方法の提示。これにより、複雑度が改善された新しい量子LPソルバーが可能となる。

提案手法

• アルゴリズムはゼロ和ゲームの線形計画法定式化を用い、最適戦略分布からの効率的サンプリングに量子ギブスサンプリング技術を適用する。
• 密度行列の場合、古典的反復手法に対する量子高速化を活用して、$\tilde{O}(√{n+m}/ε^3)$のクエリ複雑度を達成する。
• スパース行列の場合、報酬行列のスパarsityを活用して、複雑度を$\tilde{O}(√s/ε^{3.5})$に低減する。ここで$s$は行または列の最大スパarsityを表す。
• 一般線形計画問題は、LP制約をゲーム行列に埋め込む変換によりゼロ和ゲームに還元される。この変換は誤差を制御可能である。
• 弱双対性と妥当性緩和を用いて、ゲームを加法誤差$ε^{\prime\prime\prime}$まで解くことで、元のLPの$ε$最適性が保証される。
• 古典的反復を量子アモニチュード増幅とギブスサンプリングに置き換えることで、クエリ数を削減しながら正確性を維持する量子高速化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子アルゴリズムは、ゼロ和ゲームにおける近似ナッシュ均衡の計算において、非線形クエリ複雑度を達成できるか？
• RQ2 本手法の誤差依存性は、古典的および従来の量子SDPベース手法と比較してどのように異なるか？
• RQ3 報酬行列へのスパースアクセスは、行列ゲームのための量子アルゴリズムにおける複雑度スケーリングを改善できるか？
• RQ4 一般線形計画問題をゼロ和ゲームに還元する際、量子高速化を維持するとともに誤差依存性を改善できるか？
• RQ5 スパarsityに適応したアクセスを用いて、ゼロ和ゲームへの還元によるLPの最小量子クエリ複雑度は何か？

主な発見

• 密度行列の報酬行列に対して、$\tilde{O}(√{n+m}/ε^3)$の量子クエリ複雑度を達成し、$n+m$に関して古典的手法よりも2乗の高速化を実現する。
• スパース行列の場合は、$\tilde{O}(√s/ε^{3.5})$のクエリ複雑度を達成し、スパースなインスタンスにおいてより優れたスケーリングを実現する。
• 密度ゲームに基づく量子LPソルバーは、精度パラメータ$ε$に関して立方乗依存性を示し、従来の量子SDPソルバーの5乗依存性を改善する。
• スパース量子LPソルバーは、$n$や$m$ではなくLPのスパarsity$s$に依存する初めての手法であり、スパース問題において優れた性能を発揮する。
• LPからゼロ和ゲームへの還元により、ゲームを加法誤差$ε^{\prime\prime\prime} = ε/(6R(r+1))$まで解くことで、元のLPの$ε$最適かつ$ε$妥当な解が得られることを保証する。
• 弱双対性と妥当性緩和を用いることで、変換されたゲームにおいて誤差伝搬が有界に保たれ、正しさと正確性が維持される。