[論文レビュー] Quantum bouncer with quadratic dissipation

Gabriel González|ArXiv.org|Feb 15, 2008

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、速度の二乗に比例する減衰力が作用する量子バンサーに対する、新たな有効な効用的ハミルトニアンを提案する。これにより、正準量子化と一次の摂動論を用いて、1周期にわたるエネルギー損失を計算可能となる。主な結果として、$ z_n^2 $ に比例する負のエネルギーシフトが得られ、明示的な補正項 $ \delta E_n^{(1)} = -\frac{16}{15}\gamma g\ell_g^2(1 - e^{-2\gamma d/m})z_n^2 $ が得られ、量子状態における減衰的エネルギー損失が確認された。

ABSTRACT

The energy loss due to a quadratic velocity dependent force on a quantum particle bouncing on a perfectly reflecting surface is obtained for a full cycle of motion. We approach this problem by means of a new effective phenomenological Hamiltonian which corresponds to the actual energy of the system and obtained the correction to the eigenvalues of the energy in first order quantum perturbation theory for the case of weak dissipation.

研究の動機と目的

• 速度の二乗に比例する摩擦力が作用する非保存的量子系に対して、物理的に解釈可能なハミルトニアンを定義する挑戦に応えること。
• 正準量子化を用いて、二次的減衰力が作用する量子バンサーにおけるエネルギー損失をモデル化すること。
• 弱い減衰領域において、運動の1周期にわたるエネルギー固有値への補正を計算すること。
• 系の実際のエネルギーに対応する、物理的に意味のある有効ハミルトニアンを提供すること。

提案手法

• 重力場中を運動する粒子に対して、二次的減衰力 $ F = -\gamma v|v| $ を仮定し、下降運動と上昇運動に対応する区分的ハミルトニアン $ H_{\downarrow} $ と $ H_{\uparrow} $ を導出する。
• エネルギー保存則を用いて、速度の二乗を位置の関数として表現し、$ v^2_{\downarrow}(x) $ および $ v^2_{\uparrow}(x) $ を得る。これにより、運動の再構築が可能となる。
• 上昇・下降運動を統合した有効ハミルトニアン $ H_{\text{eff}} = \frac{1}{2}(\mathcal{H}_\uparrow + \mathcal{H}_\downarrow) + \frac{p}{|p|}\frac{1}{2}(\mathcal{H}_\uparrow - \mathcal{H}_\downarrow) $ を構築する。
• $ \mathcal{H}_{\downarrow} $ および $ \mathcal{H}_{\uparrow} $ を $ \gamma $ についてテイラー展開し、$ x $ について二次までの項を保持することで、摂動的形を導出する。
• 未摂動ハミルトニアン $ \hat{H}_0 = \frac{\hat{p}^2}{2m} + mg\hat{x} $ に対して、アイル関数固有状態を用いて一次量子摂動論を適用する。
• エネルギー補正 $ \delta E_n^{(1)} = -2\gamma g\ell_g^2(1 - e^{-2\gamma d/m})\langle \psi_n^{(0)} | z^2 | \psi_n^{(0)} \rangle $ を計算し、$ \langle z^2 \rangle = \frac{8}{15}z_n^2 $ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度の二乗に比例する減衰力が作用する量子バンサーに対して、物理的に解釈可能な有効ハミルトニアンを構築することは可能か？
• RQ2 このような減衰力が作用する条件下で、運動の1周期にわたるエネルギー損失は、量子エネルギー準位にどのように現れるか？
• RQ3 弱い二次的減衰力の下で、エネルギー固有値への一次補正は何か？
• RQ4 正準量子化と摂動論は、速度の二乗に比例する摩擦力が作用する非保存的系に一貫して適用可能か？

主な発見

• 有効ハミルトニアン $ H_{\text{eff}} $ は、系の実際のエネルギーをうまくモデル化でき、一貫した正準量子化を可能にする。
• n番目の量子状態におけるエネルギー補正は $ \delta E_n^{(1)} = -\frac{16}{15}\gamma g\ell_g^2(1 - e^{-2\gamma d/m})z_n^2 $ であり、エネルギー損失に応じて負の値をとる。
• 補正は $ z_n^2 $ に比例しており、高エネルギー準位ほどエネルギー損失が顕著であることを示している。
• $ \ell_g = 5.57\,\mu\text{m} $、$ m = 1.674 \times 10^{-27}\,\text{kg} $、$ \gamma \sim 10^{-23}\,\text{kg/m} $、$ d = 3\,\text{mm} $ である中性子に対して、この公式は最初の数個の準位に適用可能である。
• $ \gamma \to 0 $ の極限において摂動補正は消え、標準的な量子バンサーのスペクトルに戻る。
• この手法により、弱い減衰領域においても、1周期あたりのエネルギー損失が摂動論によって定量的に予測可能であることが確認された。